関数 $f(x) = \sqrt{2x+1}$ を導関数の定義に従って微分する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{2x+1}$ を導関数の定義に従って微分する問題です。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

この定義に、$f(x) = \sqrt{2x+1}$ を代入して計算します。

ステップ1: $f(x+h)$ を計算する。

$f(x+h) = \sqrt{2(x+h) + 1} = \sqrt{2x + 2h + 1}$

ステップ2: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算する。

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\sqrt{2x + 2h + 1} - \sqrt{2x + 1}}{h}$

ステップ3: 分子を有理化する。

$\frac{\sqrt{2x + 2h + 1} - \sqrt{2x + 1}}{h} = \frac{(\sqrt{2x + 2h + 1} - \sqrt{2x + 1})(\sqrt{2x + 2h + 1} + \sqrt{2x + 1})}{h(\sqrt{2x + 2h + 1} + \sqrt{2x + 1})}$

$= \frac{(2x + 2h + 1) - (2x + 1)}{h(\sqrt{2x + 2h + 1} + \sqrt{2x + 1})}$

$= \frac{2h}{h(\sqrt{2x + 2h + 1} + \sqrt{2x + 1})}$

$= \frac{2}{\sqrt{2x + 2h + 1} + \sqrt{2x + 1}}$

ステップ4: $h \to 0$ の極限を計算する。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{2x + 2h + 1} + \sqrt{2x + 1}}$

$= \frac{2}{\sqrt{2x + 0 + 1} + \sqrt{2x + 1}}$

$= \frac{2}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x + 1}}$

$= \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}}$

$= \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$