(2) $a$ が正の数で $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ を満たしているとき、$\frac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} - 3}{a^2 + a^{-2} - 2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(2) $a$ が正の数で $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ を満たしているとき、$\frac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} - 3}{a^2 + a^{-2} - 2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ を用いて $a + a^{-1}$ の値を計算する。

両辺を2乗すると、

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = 3^2$

$a + 2 + a^{-1} = 9$

$a + a^{-1} = 7$

次に、$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}$ の値を計算する。

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})(a + a^{-1}) = a^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}$

$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})(a + a^{-1}) - (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})$

$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 3 \cdot 7 - 3 = 21 - 3 = 18$

次に、$a^2 + a^{-2}$ の値を計算する。

$(a + a^{-1})^2 = a^2 + 2 + a^{-2}$

$a^2 + a^{-2} = (a + a^{-1})^2 - 2 = 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47$

したがって、求める値は

$\frac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} - 3}{a^2 + a^{-2} - 2} = \frac{18 - 3}{47 - 2} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$