問題文は105と150を素因数分解した結果が与えられており、それを利用して次の3つの問いに答えるものです。 (1) 105の約数をすべて書き出す。 (2) 105と150の最大公約数を求める。 (3) 105と150の最小公倍数を求める。

1. 問題の内容

問題文は105と150を素因数分解した結果が与えられており、それを利用して次の3つの問いに答えるものです。

(1) 105の約数をすべて書き出す。

(2) 105と150の最大公約数を求める。

(3) 105と150の最小公倍数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 105の約数を求める。

105の素因数分解は $105 = 3 \times 5 \times 7$ です。

約数は、各素因数の指数を0からその指数の値まで変化させて作られる数の積です。

具体的には、 $3^0 \times 5^0 \times 7^0 = 1$

$3^1 \times 5^0 \times 7^0 = 3$

$3^0 \times 5^1 \times 7^0 = 5$

$3^0 \times 5^0 \times 7^1 = 7$

$3^1 \times 5^1 \times 7^0 = 15$

$3^1 \times 5^0 \times 7^1 = 21$

$3^0 \times 5^1 \times 7^1 = 35$

$3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 105$

したがって、105の約数は1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105です。

(2) 105と150の最大公約数を求める。

105の素因数分解は $105 = 3 \times 5 \times 7$

150の素因数分解は $150 = 2 \times 3 \times 5^2$

最大公約数を求めるには、共通の素因数のうち指数の小さい方を選んで掛け合わせます。

共通の素因数は3と5です。

105の3の指数は1、150の3の指数は1なので、3の指数は1を選びます。

105の5の指数は1、150の5の指数は2なので、5の指数は1を選びます。

したがって、最大公約数は $3 \times 5 = 15$ です。

(3) 105と150の最小公倍数を求める。

105の素因数分解は $105 = 3 \times 5 \times 7$

150の素因数分解は $150 = 2 \times 3 \times 5^2$

最小公倍数を求めるには、すべての素因数のうち指数の大きい方を選んで掛け合わせます。

2の指数は150にある1を選びます。

3の指数はどちらも1なので、1を選びます。

5の指数は105が1、150が2なので、2を選びます。

7の指数は105にある1を選びます。

したがって、最小公倍数は $2 \times 3 \times 5^2 \times 7 = 2 \times 3 \times 25 \times 7 = 1050$ です。

3. 最終的な答え

(1) 105の約数：1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105

(2) 105と150の最大公約数：15

(3) 105と150の最小公倍数：1050