関数 $y = 7\sin^2\theta - 4\sin\theta\cos\theta + 3\cos^2\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 7\sin^2\theta - 4\sin\theta\cos\theta + 3\cos^2\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数を三角関数の公式を用いて変形します。

$\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$

$\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin2\theta}{2}$

これらの公式を関数に代入すると、

$y = 7\cdot\frac{1-\cos2\theta}{2} - 4\cdot\frac{\sin2\theta}{2} + 3\cdot\frac{1+\cos2\theta}{2}$

$y = \frac{7-7\cos2\theta - 4\sin2\theta + 3+3\cos2\theta}{2}$

$y = \frac{10 - 4\cos2\theta - 4\sin2\theta}{2}$

$y = 5 - 2\cos2\theta - 2\sin2\theta$

ここで、$2\cos2\theta + 2\sin2\theta$ を合成します。

$2\cos2\theta + 2\sin2\theta = 2\sqrt{2} \sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$

したがって、

$y = 5 - 2\sqrt{2} \sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$

$\theta$ の範囲が $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ なので、$2\theta$ の範囲は $0 \le 2\theta \le \pi$ となり、$2\theta + \frac{\pi}{4}$ の範囲は $\frac{\pi}{4} \le 2\theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$ となります。

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$ の最大値は1（$2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき）で、最小値は$-\frac{\sqrt{2}}{2}$（$2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ のとき）です。

したがって、$y$ の最大値は $5 - 2\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5+2 = 7$ (このとき $2\theta+\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ より $2\theta = \pi$, $\theta = \frac{\pi}{2}$)、

$y$ の最小値は $5 - 2\sqrt{2} \cdot 1 = 5 - 2\sqrt{2}$ (このとき $2\theta+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ より $2\theta = \frac{\pi}{4}$, $\theta = \frac{\pi}{8}$)となります。

3. 最終的な答え

最大値：$7$ ($\theta = \frac{\pi}{2}$のとき)

最小値：$5-2\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{8}$のとき)