関数 $y = \frac{x^3 - 4x + 2}{x - 2}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^3 - 4x + 2}{x - 2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を簡単にすることを試みます。多項式 $x^3 - 4x + 2$ を $x - 2$ で割ります。

$x^3 - 4x + 2$ を $x - 2$ で割った結果は $x^2 + 2x$ であり、余りは $2$ です。したがって、

$x^3 - 4x + 2 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 2$

よって、

$y = \frac{x^3 - 4x + 2}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x) + 2}{x - 2} = x^2 + 2x + \frac{2}{x - 2}$

次に、この関数を微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( x^2 + 2x + \frac{2}{x - 2} \right) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x - 2}\right)$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

$\frac{d}{dx}(2x) = 2$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x - 2}\right) = 2 \frac{d}{dx}(x - 2)^{-1} = 2(-1)(x - 2)^{-2} \cdot (1) = -\frac{2}{(x - 2)^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2x + 2 - \frac{2}{(x - 2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = 2x + 2 - \frac{2}{(x^2 - 4x + 4)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 2)(x^2 - 4x + 4) - 2}{x^2 - 4x + 4} = \frac{2x^3 - 8x^2 + 8x + 2x^2 - 8x + 8 - 2}{x^2 - 4x + 4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 6}{x^2 - 4x + 4} = \frac{2(x^3 - 3x^2 + 3)}{(x - 2)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2x + 2 - \frac{2}{(x - 2)^2} = \frac{2(x^3 - 3x^2 + 3)}{(x - 2)^2}$