関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y$ を $x$ で微分するには、商の微分公式または連鎖律を使用します。

今回は連鎖律を用います。

まず、$u = x^3 + 3x^2 + 1$ とおくと、$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$ となります。

連鎖律を用いると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$ です。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + 1) = 3x^2 + 6x$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot (3x^2 + 6x) = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$