問題は、行列式の基本性質を用いて、与えられた2つの行列の行列式を求めることです。具体的には、 (1) 行列 $\begin{vmatrix} b+c & b & c \\ a & c+a & c \\ a & b & a+b \end{vmatrix}$ (3) 行列 $\begin{vmatrix} a^2+1 & ab & ac & ad \\ ba & b^2+1 & bc & bd \\ ca & cb & c^2+1 & cd \\ da & db & dc & d^2+1 \end{vmatrix}$ の行列式を計算します。

1. 問題の内容

問題は、行列式の基本性質を用いて、与えられた2つの行列の行列式を求めることです。具体的には、

(1) 行列 $\begin{vmatrix} b+c & b & c \\ a & c+a & c \\ a & b & a+b \end{vmatrix}$

(3) 行列 $\begin{vmatrix} a^2+1 & ab & ac & ad \\ ba & b^2+1 & bc & bd \\ ca & cb & c^2+1 & cd \\ da & db & dc & d^2+1 \end{vmatrix}$

の行列式を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 行列式の計算

1列目から2列目を引く、1列目から3列目を引くという操作を行うと、

$\begin{vmatrix} b+c & b & c \\ a & c+a & c \\ a & b & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c & b & c \\ a-c-a & c+a & c \\ a-b-a-b & b & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c & b & c \\ -c & c+a & c \\ -2b & b & a+b \end{vmatrix}$

1列目を3列目に加えると、

$\begin{vmatrix} c & b & c \\ -c & c+a & c \\ -2b & b & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c & b & 2c \\ -c & c+a & 0 \\ -2b & b & a-b \end{vmatrix}$

この行列式を展開すると

$c((c+a)(a-b) - 0) -b(-c(a-b)-0) +2c (-cb+2b(c+a))= c(a^2-bc+ac-ab) + bc(a-b) + 2c(cb+2ab) = a^2c -bc^2+ac^2 -abc+abc-b^2c+2c^2b+4abc = a^2c + ac^2 +bc^2-b^2c + 4abc$

別の解法として、

1行目に2行目と3行目を加えると

$\begin{vmatrix} b+c & b & c \\ a & c+a & c \\ a & b & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b+c+a+a & b+c+a+b & c+c+a+b \\ a & c+a & c \\ a & b & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2a+b+c & a+2b+c & a+b+2c \\ a & c+a & c \\ a & b & a+b \end{vmatrix}$

これは明らかに行列式は簡単にはならない。

1列目から2列目と3列目を引くと

$\begin{vmatrix} b+c-b-c & b & c \\ a-c-a-c & c+a & c \\ a-b-a-b & b & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & b & c \\ -2c & c+a & c \\ -2b & b & a+b \end{vmatrix}= 0 - b(-2c(a+b)+2bc) + c(-2bc+2b(c+a)) = -b(-2ac-2bc+2bc) + c(-2bc+2bc+2ab) =2abc+2abc=2abc$

(3) 行列式の計算

与えられた行列を $A$ とします。$A$ の各行から $a,b,c,d$ をくくり出すと、

$A = \begin{vmatrix} a^2+1 & ab & ac & ad \\ ba & b^2+1 & bc & bd \\ ca & cb & c^2+1 & cd \\ da & db & dc & d^2+1 \end{vmatrix}$

$= abcd \begin{vmatrix} a+1/a & a & a & a \\ b & b+1/b & b & b \\ c & c & c+1/c & c \\ d & d & d & d+1/d \end{vmatrix}$

ここで、各列からそれ以外の列の値を引く操作は、行列式の値を変化させません。

$\det(A) = 1 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2$

3. 最終的な答え

(1) $2abc$

(3) $1 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2$