与えられた複素数の平方根、3乗根、5乗根を求める問題です。具体的には、 (1) $z^2 = i$ を満たす $z$ を求めます。 (2) $z^3 = 1-i$ を満たす $z$ を求めます。 (3) $z^5 = -1 + \sqrt{3}i$ を満たす $z$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた複素数の平方根、3乗根、5乗根を求める問題です。具体的には、

(1) $z^2 = i$ を満たす $z$ を求めます。

(2) $z^3 = 1-i$ を満たす $z$ を求めます。

(3) $z^5 = -1 + \sqrt{3}i$ を満たす $z$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $z^2 = i$ を満たす $z$ を求める場合、$z = x+yi$ ($x,y$は実数) とおきます。

すると、$z^2 = (x+yi)^2 = x^2 + 2xyi - y^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi = i$ となります。

実部と虚部を比較すると、

$x^2 - y^2 = 0$

$2xy = 1$

$x^2 = y^2$より、$x = y$ または $x = -y$ です。

$2xy = 1$ なので、$x$ と $y$ は同符号でなければなりません。したがって、$x = y$ です。

$2x^2 = 1$ より、$x^2 = \frac{1}{2}$ なので、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = y$ なので、$z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ または $z = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

(2) $z^3 = 1-i$ を満たす $z$ を求める場合、まず $1-i$ を極形式で表します。

$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\theta = \arctan\left(\frac{-1}{1}\right) = -\frac{\pi}{4}$ (または $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$)

したがって、$1-i = \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)$

$z^3 = r^3 (\cos(3\theta) + i \sin(3\theta)) = \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)$

$z = \sqrt[6]{2} \left( \cos\left(\frac{-\pi/4 + 2k\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{-\pi/4 + 2k\pi}{3}\right) \right)$, $k = 0, 1, 2$

$z = \sqrt[6]{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}\right) \right)$, $k = 0, 1, 2$

(3) $z^5 = -1 + \sqrt{3}i$ を満たす $z$ を求める場合、まず $-1 + \sqrt{3}i$ を極形式で表します。

$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$

$\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) = \frac{2\pi}{3}$

したがって、$-1 + \sqrt{3}i = 2 \left( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right)$

$z^5 = r^5 (\cos(5\theta) + i \sin(5\theta)) = 2 \left( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right)$

$z = \sqrt[5]{2} \left( \cos\left(\frac{2\pi/3 + 2k\pi}{5}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi/3 + 2k\pi}{5}\right) \right)$, $k = 0, 1, 2, 3, 4$

$z = \sqrt[5]{2} \left( \cos\left(\frac{2\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5}\right) \right)$, $k = 0, 1, 2, 3, 4$

3. 最終的な答え

(1) $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$, $z = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

(2) $z = \sqrt[6]{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}\right) \right)$, $k = 0, 1, 2$

(3) $z = \sqrt[5]{2} \left( \cos\left(\frac{2\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5}\right) \right)$, $k = 0, 1, 2, 3, 4$