数列 $\{a_k\}$ が $a_1 = 1$ および $(k+2)a_k = (k-1)a_{k-1}$ ($k = 2, 3, 4, \dots$) で定められている。 (1) $a_k$ を $k$ の式で表せ。 (2) $\sum_{k=1}^n a_k$ を $n$ の式で表せ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_k\}$ が $a_1 = 1$ および $(k+2)a_k = (k-1)a_{k-1}$ ($k = 2, 3, 4, \dots$) で定められている。

(1) $a_k$ を $k$ の式で表せ。

(2) $\sum_{k=1}^n a_k$ を $n$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $a_k$ を求める。

与えられた漸化式は、

$$(k+2)a_k = (k-1)a_{k-1} \quad (k = 2, 3, 4, \dots)$$

この式を変形して、

$$a_k = \frac{k-1}{k+2} a_{k-1}$$

$k = 2, 3, 4, \dots$ について、この関係を繰り返し適用していくと、

$$a_2 = \frac{1}{4}a_1$$

$$a_3 = \frac{2}{5}a_2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} a_1$$

$$a_4 = \frac{3}{6}a_3 = \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} a_1$$

$$a_k = \frac{k-1}{k+2} \cdot \frac{k-2}{k+1} \cdot \frac{k-3}{k} \cdots \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} a_1$$

ここで、分子は $1$ から $k-1$ までの積であり、分母は $4$ から $k+2$ までの積であることに注意する。

$$a_k = \frac{(k-1)!}{\frac{(k+2)!}{3!}} a_1 = \frac{(k-1)! 3!}{(k+2)!} a_1$$

$a_1 = 1$ より

$$a_k = \frac{6(k-1)!}{(k+2)!} = \frac{6(k-1)!}{(k+2)(k+1)k(k-1)!} = \frac{6}{(k+2)(k+1)k}$$

したがって、

$$a_k = \frac{6}{k(k+1)(k+2)}$$

(2) $\sum_{k=1}^n a_k$ を求める。

$$a_k = \frac{6}{k(k+1)(k+2)} = 3\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) = 3\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}\right)\right)$$

$$a_k = \frac{3}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} + \frac{1}{k+2}\right) = 3 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{k+2} \right)$$

また, 部分分数分解を使うと

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2}$$

$$1 = A(k+1)(k+2) + Bk(k+2) + Ck(k+1)$$

$k=0$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$k=-1$ のとき、$1 = -B$ より $B = -1$

$k=-2$ のとき、$1 = 2C$ より $C = \frac{1}{2}$

$$a_k = 6\left(\frac{1/2}{k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1/2}{k+2}\right) = 3\left(\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} + \frac{1}{k+2}\right)$$

$$\sum_{k=1}^n a_k = 3 \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} + \frac{1}{k+2} \right)$$

$$= 3 \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - 2\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2} \right)$$

$$= 3 \left( \left(1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}\right) - 2\left(\frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right) \right)$$

$$= 3 \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right)$$

$$= 3 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right) = 3 \left( \frac{(n+1)(n+2) - 2(n+2) + 2(n+1)}{2(n+1)(n+2)} \right) = 3 \left( \frac{n^2 + 3n + 2 - 2n - 4 + 2n + 2}{2(n+1)(n+2)} \right)$$

$$= 3 \left( \frac{n^2 + 3n}{2(n+1)(n+2)} \right) = \frac{3n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}$$

3. 最終的な答え

(1) $a_k = \frac{6}{k(k+1)(k+2)}$

(2) $\sum_{k=1}^n a_k = \frac{3n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}$