連続する3つの正の整数がある。最も大きい数の8倍は、他の2つの数の積より78大きい。このとき、最も大きい数を求めよ。

1. 問題の内容

連続する3つの正の整数がある。最も大きい数の8倍は、他の2つの数の積より78大きい。このとき、最も大きい数を求めよ。

2. 解き方の手順

連続する3つの正の整数を $n-1$, $n$, $n+1$ とおく。

最も大きい数は $n+1$ であり、その8倍は $8(n+1)$ である。

他の2つの数の積は $(n-1)n = n^2 - n$ である。

問題文より、最も大きい数の8倍は、他の2つの数の積より78大きいので、以下の式が成り立つ。

$8(n+1) = (n-1)n + 78$

この方程式を解く。

$8n + 8 = n^2 - n + 78$

$n^2 - 9n + 70 = 0$

$(n - 14)(n + 5) = 0$

$n = 14$ または $n = -5$ となる。

$n$ は正の整数なので、$n=14$ である。

最も大きい数は $n+1 = 14+1 = 15$ である。

3. 最終的な答え

15