6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 (1) $\tau\sigma$ を求める。 (2) $\sigma^{-1}$ を求める。 (3) $\sigma$ を互換の積で表す。 (4) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める。

1. 問題の内容

6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) $\tau\sigma$ を求める。

(2) $\sigma^{-1}$ を求める。

(3) $\sigma$ を互換の積で表す。

(4) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tau\sigma$ を求める。

$\tau\sigma$ は $\sigma$ を適用した後に $\tau$ を適用することで得られる。

例えば、1は$\sigma$によって2に写され、2は$\tau$によって1に写されるので、$\tau\sigma$ は 1 を 1 に写す。

同様に計算すると、

$\tau\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1}$ を求める。

$\sigma^{-1}$ は $\sigma$ の逆置換である。つまり、$\sigma$ の下の行を上の行にし、対応する上の行を下の行にすることで得られる。その後、上の行が 1, 2, 3, 4, 5, 6 となるように列を並び替える。

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma$ を互換の積で表す。

$\sigma$ を巡回置換の積で表すと、$\sigma = (1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5)$。

巡回置換を互換の積で表す一般的な方法は、$(a_1\ a_2\ \dots\ a_n) = (a_1\ a_n)(a_1\ a_{n-1})\dots(a_1\ a_2)$ である。

したがって、$\sigma = (1\ 5)(1\ 3)(1\ 6)(1\ 4)(1\ 2)$。

(4) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める。

$\text{sgn}(\sigma)$ は $\sigma$ の符号である。$\sigma$ を互換の積で表したときの互換の個数が偶数なら $\text{sgn}(\sigma) = 1$、奇数なら $\text{sgn}(\sigma) = -1$ である。

$\sigma$ は5個の互換の積で表されるので、$\text{sgn}(\sigma) = -1$。

3. 最終的な答え

(1) $\tau\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma = (1\ 5)(1\ 3)(1\ 6)(1\ 4)(1\ 2)$

(4) $\text{sgn}(\sigma) = -1$