数列 $\{a_n\}$ が、初期値 $a_1 = 1$ と漸化式 $a_{n+1} = 4a_n + 6n - 2$ で定義されている。このとき、$b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義される数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、初期値 $a_1 = 1$ と漸化式 $a_{n+1} = 4a_n + 6n - 2$ で定義されている。このとき、$b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義される数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

まず、$b_n$ の定義式 $b_n = a_{n+1} - a_n$ を利用して、数列 $\{b_n\}$ の漸化式を導出する。

漸化式 $a_{n+1} = 4a_n + 6n - 2$ において、$n$ を $n+1$ に置き換えると、

$a_{n+2} = 4a_{n+1} + 6(n+1) - 2 = 4a_{n+1} + 6n + 4$

となる。

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$ であるから、上の式を代入すると、

$b_{n+1} = (4a_{n+1} + 6n + 4) - a_{n+1} = 3a_{n+1} + 6n + 4$

ここで、$a_{n+1} = a_n + b_n$ を代入すると、

$b_{n+1} = 3(a_n + b_n) + 6n + 4 = 3a_n + 3b_n + 6n + 4$

一方、$a_{n+1} = 4a_n + 6n - 2$ より、$3a_n = \frac{3}{4}(a_{n+1} - 6n + 2)$ なので、$b_{n+1} = 3a_n + 3b_n + 6n + 4$に代入して$a_n$を消去すると

$b_{n+1} = \frac{3}{4}(a_{n+1} - 6n + 2) + 3b_n + 6n + 4 = \frac{3}{4}a_{n+1} - \frac{9}{2}n + \frac{3}{2} + 3b_n + 6n + 4 = \frac{3}{4}(a_n + b_n) - \frac{9}{2}n + \frac{3}{2} + 3b_n + 6n + 4$

$b_{n+1} = \frac{3}{4}b_n + 3b_n + \frac{3}{2}n + \frac{11}{2}$

$a_{n+1} = 4a_n + 6n - 2$から$a_{n+1} - a_n = 3a_n + 6n - 2$,　つまり $b_n = 3a_n + 6n - 2$

$a_n = \frac{b_n - 6n + 2}{3}$なので、$a_{n+1} = \frac{b_{n+1} - 6(n+1) + 2}{3}$となる

よって$a_{n+1} = 4a_n + 6n - 2$から$\frac{b_{n+1} - 6n - 4}{3} = 4 \frac{b_n - 6n + 2}{3} + 6n - 2$,

$b_{n+1} - 6n - 4 = 4b_n - 24n + 8 + 18n - 6 = 4b_n - 6n + 2$

よって$b_{n+1} = 4b_n + 6$

次に、$b_1$ を求める。$b_1 = a_2 - a_1$ であり、$a_1 = 1$、$a_2 = 4a_1 + 6(1) - 2 = 4(1) + 6 - 2 = 8$ なので、$b_1 = 8 - 1 = 7$ である。

漸化式 $b_{n+1} = 4b_n + 6$ を解く。特性方程式 $x = 4x + 6$ を解くと $x = -2$ である。

よって、$b_{n+1} + 2 = 4(b_n + 2)$ と変形できる。

$c_n = b_n + 2$ とおくと、$c_{n+1} = 4c_n$ であり、$c_1 = b_1 + 2 = 7 + 2 = 9$ である。

したがって、$c_n = 9 \cdot 4^{n-1}$ である。

$b_n = c_n - 2$ であるから、$b_n = 9 \cdot 4^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

$b_n = 9 \cdot 4^{n-1} - 2$