画像の問題を解きます。 問題は全部で5題あり、それぞれ複数の小問に分かれています。

1. 問題の内容

画像の問題を解きます。 問題は全部で5題あり、それぞれ複数の小問に分かれています。

2. 解き方の手順

各問題ごとに解答します。

1. 次の値を求めよ。

(1) $\frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2}{12} - \frac{3}{12} = -\frac{1}{12}$

(2) $\sqrt{(3-\pi)^2} = |3-\pi| = \pi - 3$ (なぜなら $3 < \pi$ )

(3) $|-\sqrt{3} -i| - |-3 + \sqrt{7}i| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} - \sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{3+1} - \sqrt{9+7} = \sqrt{4} - \sqrt{16} = 2-4 = -2$

2. 次の各式を簡単にせよ。

(1) $\sqrt{45} - \sqrt{8} - \sqrt{\frac{5}{4}} + \sqrt{32} = \sqrt{9\cdot5} - \sqrt{4\cdot2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + \sqrt{16\cdot2} = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \frac{5}{2}\sqrt{5}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{6-3} + \frac{\sqrt{9}-\sqrt{6}}{9-6} + \frac{\sqrt{12}-\sqrt{9}}{12-9} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} + \frac{3-\sqrt{6}}{3} + \frac{2\sqrt{3}-3}{3} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}+3-\sqrt{6}+2\sqrt{3}-3}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $(3-2i) - (4+3i) = 3 - 2i - 4 - 3i = -1 - 5i$

(4) $\frac{1+2i}{2+i} = \frac{(1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{2 - i + 4i - 2i^2}{4 - i^2} = \frac{2 + 3i + 2}{4 + 1} = \frac{4+3i}{5} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$

3. 次の各問いに答えよ。

(1) $A = 3a^2 + 2ab - 4b^2$, $B = a^2 - ab + 3b^2$, $C = 2a^2 + 3ab - b^2$ とする。

$3A - (2B + 5C) = 3(3a^2 + 2ab - 4b^2) - (2(a^2 - ab + 3b^2) + 5(2a^2 + 3ab - b^2)) = 9a^2 + 6ab - 12b^2 - (2a^2 - 2ab + 6b^2 + 10a^2 + 15ab - 5b^2) = 9a^2 + 6ab - 12b^2 - (12a^2 + 13ab + b^2) = 9a^2 + 6ab - 12b^2 - 12a^2 - 13ab - b^2 = -3a^2 - 7ab - 13b^2$

(2) $(6x-5)(7x+8) = 42x^2 + 48x - 35x - 40 = 42x^2 + 13x - 40$

(3) $x^2 + xy - 2y^2 + 2x + 7y - 3 = x^2 + (y+2)x - (2y^2 - 7y + 3) = x^2 + (y+2)x - (2y-1)(y-3) = (x + 2y - 1)(x - y + 3)$

(4) $2x^3 - 7x^2 + 3x + 8$ を $x^2 - x - 3$ で割る。

商: $2x - 5$, 余り: $-4x - 7$

4. 次の各問いに答えよ。

(1) $2x^2 + 3x - 1 = 0$ の解は、$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) $3x^2 - 2x + 5 = 0$ の解は、$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(5)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4-60}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{-56}}{6} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{14}}{6} = \frac{1 \pm i\sqrt{14}}{3}$

(3) $\begin{cases} 3x+3 \ge 2x-1 \\ 2x \le 1-x \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge -4 \\ 3x \le 1 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge -4 \\ x \le \frac{1}{3} \end{cases}$

したがって、$-4 \le x \le \frac{1}{3}$

5. 次の各問いに答えよ。

(1) $y = -\frac{2}{3}x + 2$ の定義域が $-2 < x < 6$ のとき、

$x = -2$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(-2) + 2 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}$

$x = 6$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(6) + 2 = -4 + 2 = -2$

したがって、$-2 < y < \frac{10}{3}$

(2) $A(7, -6)$, $B(-5, -1)$ の距離 $AB$ は $\sqrt{(7-(-5))^2 + (-6-(-1))^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$

(3) $A(-5, -7)$, $B(1, 5)$ を結ぶ線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点の座標は $(\frac{2(1) + 1(-5)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(-7)}{2+1}) = (\frac{2-5}{3}, \frac{10-7}{3}) = (-1, 1)$

(4) $A(3, 4)$, $B(-1, -5)$, $C(-11, 7)$ を頂点とする三角形の重心の座標は $(\frac{3-1-11}{3}, \frac{4-5+7}{3}) = (\frac{-9}{3}, \frac{6}{3}) = (-3, 2)$

(5) $(12, -1)$, $(4, 3)$ を通る直線の方程式は、傾き $\frac{3-(-1)}{4-12} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$。

したがって、$y - (-1) = -\frac{1}{2}(x - 12)$, $y + 1 = -\frac{1}{2}x + 6$, $y = -\frac{1}{2}x + 5$

3. 最終的な答え

1. (1) -1/12

(2) π - 3

(3) -2

2. (1) $2\sqrt{2} + \frac{5}{2}\sqrt{5}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) -1 - 5i

(4) $\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$

3. (1) $-3a^2 - 7ab - 13b^2$

(2) $42x^2 + 13x - 40$

(3) $(x + 2y - 1)(x - y + 3)$

(4) 商: $2x - 5$, 余り: $-4x - 7$

4. (1) $x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) $x = \frac{1 \pm i\sqrt{14}}{3}$

(3) $-4 \le x \le \frac{1}{3}$

5. (1) $-2 < y < \frac{10}{3}$

(2) 13

(3) (-1, 1)

(4) (-3, 2)

(5) $y = -\frac{1}{2}x + 5$