数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 4a_n + 6n - 2$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で定義されている。 数列 $\{b_n\}$ が $b_n = a_{n+1} - a_n$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で定義されているとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 4a_n + 6n - 2$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で定義されている。

数列 $\{b_n\}$ が $b_n = a_{n+1} - a_n$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で定義されているとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

$a_{n+1} = 4a_n + 6n - 2$ であるから、

$b_n = a_{n+1} - a_n = (4a_n + 6n - 2) - a_n = 3a_n + 6n - 2$

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = 3a_{n+1} + 6(n+1) - 2 = 3(4a_n + 6n - 2) + 6n + 6 - 2 = 12a_n + 18n - 6 + 6n + 4 = 12a_n + 24n - 2$

したがって

$b_{n+1} - b_n = (12a_n + 24n - 2) - (3a_n + 6n - 2) = 9a_n + 18n$

ここで、$b_n = 3a_n + 6n - 2$ より $3a_n = b_n - 6n + 2$ であるから

$b_{n+1} - b_n = 3(3a_n) + 18n = 3(b_n - 6n + 2) + 18n = 3b_n - 18n + 6 + 18n = 3b_n + 6$

よって

$b_{n+1} = 4b_n + 6$

特性方程式 $x = 4x + 6$ を解くと $x = -2$

$b_{n+1} + 2 = 4(b_n + 2)$

$c_n = b_n + 2$ とおくと $c_{n+1} = 4c_n$

数列 $\{c_n\}$ は公比4の等比数列である。

$b_1 = a_2 - a_1 = (4a_1 + 6 - 2) - a_1 = 3a_1 + 4 = 3(1) + 4 = 7$

$c_1 = b_1 + 2 = 7 + 2 = 9$

$c_n = 9 \cdot 4^{n-1}$

$b_n = c_n - 2 = 9 \cdot 4^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

$b_n = 9 \cdot 4^{n-1} - 2$