$\sqrt{120x}$ が自然数になるような最小の自然数 $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{120x}$ が自然数になるような最小の自然数 $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{120x}$ が自然数になるためには、$120x$ がある自然数の2乗である必要があります。

まず、$120$ を素因数分解します。

$120 = 2 \times 60 = 2 \times 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3 \times 5$

したがって、$120x = 2^3 \times 3 \times 5 \times x$ です。

$120x$ がある自然数の2乗になるためには、$120x$ の素因数分解において、すべての素数の指数が偶数である必要があります。

$120x = 2^3 \times 3 \times 5 \times x$ において、$2$ の指数は $3$ (奇数)、$3$ の指数は $1$ (奇数)、$5$ の指数は $1$ (奇数) です。

したがって、$x$ は少なくとも $2, 3, 5$ を素因数として持っている必要があります。

$x = 2 \times 3 \times 5 = 30$ とすると、$120x = 2^3 \times 3 \times 5 \times (2 \times 3 \times 5) = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = (2^2 \times 3 \times 5)^2 = (4 \times 3 \times 5)^2 = 60^2$

$\sqrt{120x} = \sqrt{60^2} = 60$ となり、自然数になります。

したがって、求める最小の自然数 $x$ は $30$ です。

3. 最終的な答え

30