与えられた定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を計算します。解析学定積分積分三角関数arcsin2025/7/291. 問題の内容与えられた定積分∫−11dx1−x2\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}∫−111−x2dxを計算します。2. 解き方の手順11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}1−x21 の積分は arcsin(x)\arcsin(x)arcsin(x) であることを利用します。つまり、∫dx1−x2=arcsin(x)+C\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(x) + C∫1−x2dx=arcsin(x)+Cとなります。ここで、CCC は積分定数です。定積分を計算するために、積分の上限と下限で arcsin(x)\arcsin(x)arcsin(x) の値を計算し、その差を求めます。∫−11dx1−x2=arcsin(1)−arcsin(−1)\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(1) - \arcsin(-1)∫−111−x2dx=arcsin(1)−arcsin(−1)arcsin(1)\arcsin(1)arcsin(1) は、sin(θ)=1\sin(\theta) = 1sin(θ)=1 となる θ\thetaθ の値です。これは θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}θ=2π です。arcsin(−1)\arcsin(-1)arcsin(−1) は、sin(θ)=−1\sin(\theta) = -1sin(θ)=−1 となる θ\thetaθ の値です。これは θ=−π2\theta = -\frac{\pi}{2}θ=−2π です。したがって、arcsin(1)−arcsin(−1)=π2−(−π2)=π2+π2=π\arcsin(1) - \arcsin(-1) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \piarcsin(1)−arcsin(−1)=2π−(−2π)=2π+2π=π3. 最終的な答えπ\piπ