以下の三角関数の方程式について、$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲での解と、$\theta$ の範囲に制限がないときの解を求めます。 (1) $\sin \theta = \frac{1}{2}$ (2) $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ (3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$

1. 問題の内容

以下の三角関数の方程式について、$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲での解と、$\theta$ の範囲に制限がないときの解を求めます。

(1) $\sin \theta = \frac{1}{2}$

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{2}$

(3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{1}{2}$ の場合：

- $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲では、$\theta = \frac{\pi}{6}$ と $\theta = \frac{5\pi}{6}$ が解となります。

- $\theta$ の範囲に制限がない場合、一般解は $\theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ および $\theta = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ (ただし、$n$ は整数) となります。

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ の場合：

- $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲では、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ と $\theta = \frac{4\pi}{3}$ が解となります。

- $\theta$ の範囲に制限がない場合、一般解は $\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ および $\theta = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ (ただし、$n$ は整数) となります。

(3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$ の場合：

- $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲では、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ と $\theta = \frac{5\pi}{3}$ が解となります。

- $\theta$ の範囲に制限がない場合、一般解は $\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$ (ただし、$n$ は整数) となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = \frac{1}{2}$

- $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき: $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

- 制限がないとき: $\theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi, \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$ は整数)

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{2}$

- $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき: $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

- 制限がないとき: $\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi, \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ ($n$ は整数)

(3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$

- $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき: $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

- 制限がないとき: $\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$ ($n$ は整数)