問題は、与えられた角 $\theta$ に対して、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める問題です。具体的には、(1) $\theta = \frac{9}{4}\pi$ と (2) $\theta = -\frac{8}{3}\pi$ の場合について、それぞれの三角関数の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

問題は、与えられた角 $\theta$ に対して、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める問題です。具体的には、(1) $\theta = \frac{9}{4}\pi$ と (2) $\theta = -\frac{8}{3}\pi$ の場合について、それぞれの三角関数の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{9}{4}\pi$ の場合：

まず、$\frac{9}{4}\pi$ を $2\pi$ で割って、基準となる角度を求めます。

$\frac{9}{4}\pi = 2\pi + \frac{1}{4}\pi$ となります。

したがって、$\sin(\frac{9}{4}\pi) = \sin(\frac{1}{4}\pi)$, $\cos(\frac{9}{4}\pi) = \cos(\frac{1}{4}\pi)$, $\tan(\frac{9}{4}\pi) = \tan(\frac{1}{4}\pi)$ となります。

$\frac{1}{4}\pi$ は45度なので、

$\sin(\frac{1}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{1}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(\frac{1}{4}\pi) = 1$

(2) $\theta = -\frac{8}{3}\pi$ の場合：

まず、$-\frac{8}{3}\pi$ を $2\pi$ で割って、基準となる角度を求めます。

$-\frac{8}{3}\pi = -2\pi - \frac{2}{3}\pi$ となります。

したがって、$\sin(-\frac{8}{3}\pi) = \sin(-\frac{2}{3}\pi)$, $\cos(-\frac{8}{3}\pi) = \cos(-\frac{2}{3}\pi)$, $\tan(-\frac{8}{3}\pi) = \tan(-\frac{2}{3}\pi)$ となります。

$-\frac{2}{3}\pi$ は-120度なので、

$-\frac{2}{3}\pi = -\pi + \frac{1}{3}\pi$ と変形できます。

$\sin(-\frac{2}{3}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\tan(-\frac{2}{3}\pi) = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{9}{4}\pi$ の場合：

$\sin(\frac{9}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{9}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(\frac{9}{4}\pi) = 1$

(2) $\theta = -\frac{8}{3}\pi$ の場合：

$\sin(-\frac{8}{3}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-\frac{8}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\tan(-\frac{8}{3}\pi) = \sqrt{3}$