5つの数字0, 1, 2, 3, 4をすべて使ってできる5桁の数について、 (1) 全部で何個できるか。 (2) 40132は小さい方から数えて何番目か。 (3) 小さい方から数えて62番目の数は何か。

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4をすべて使ってできる5桁の数について、

(1) 全部で何個できるか。

(2) 40132は小さい方から数えて何番目か。

(3) 小さい方から数えて62番目の数は何か。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の数を作る。千の位には0以外の数字が入るので、千の位の選び方は4通り。残りの4つの位には、残りの4つの数字を自由に並べられるので、4! = 24通り。したがって、全部で $4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$個できる。

(2) 40132が小さい方から何番目か調べる。

まず、1から始まる数は、4! = 24個ある。

次に、2から始まる数も、4! = 24個ある。

次に、3から始まる数も、4! = 24個ある。

次に、40から始まる数を調べる。

40123よりも小さい数は40132以外に、40123がある。

402から始まる数は2! = 2個ある(40213, 40231)。

403から始まる数は2! = 2個ある(40312, 40321)。

404から始まる数はない。

したがって、40132は、

$24+24+24+1+2+2+1=78$番目にある。

40123よりも小さい数は存在し、小さい順に並べると、

1xxxx: 24個

2xxxx: 24個

3xxxx: 24個

40123, 40132

となる。

最初の数字が1, 2, 3である5桁の数字の数はそれぞれ4! = 24。

したがって最初の数字が3までの数字の数は 24 * 3 = 72。

40123 < 40132

40123より小さい40***の数字の数を数える。

401xx 2通り

402xx 2通り

403xx 2通り

よって答えは、24 * 3 + 2 + 1 = 75番目となる。

(3) 小さい方から数えて62番目の数を求める。

1xxxx: 24個

2xxxx: 24個

3xxxx: 24個

4xxxx: 24個

合計96個。

最初の24個は1から始まる数。次の24個は2から始まる数。次の24個は3から始まる数。62番目は3から始まる数である。

62 - 24 - 24 = 14

30124が最小の数なので、30xxxから始まる数を考える。

30124, 30142

30214, 30241

30412, 30421

31024, 31042

31204, 31240

31402, 31420

32014, 32041

32104, 32140

32401, 32410

34012, 34021

34102, 34120

34201, 34210

30124, 30142, 30214, 30241, 30412, 30421, 31024, 31042, 31204, 31240, 31402, 31420, 32014, 32041

62番目は、32041である。

24+24=48。62-48=14。３から始まる数の中で14番目の数を探す。

30124, 30142, 30214, 30241, 30412, 30421, 31024, 31042, 31204, 31240, 31402, 31420, 32014, 32041

3. 最終的な答え

(1) 96個

(2) 75番目

(3) 32041