任意の実数 $x > 0$ に対して、不等式 $\log x < a\sqrt{x}$ が成り立つような $a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

任意の実数 $x > 0$ に対して、不等式 $\log x < a\sqrt{x}$ が成り立つような $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = a\sqrt{x} - \log x$ とおきます。

この不等式が任意の $x>0$ で成り立つためには、$x > 0$ の範囲で常に $f(x) > 0$ である必要があります。

$f(x) > 0$ すなわち $a\sqrt{x} > \log x$ となるためには、$a > \frac{\log x}{\sqrt{x}}$ であればよいです。

そこで、$g(x) = \frac{\log x}{\sqrt{x}}$ とおき、$g(x)$ の最大値を求めます。

$g'(x) = \frac{\frac{1}{x}\sqrt{x} - \log x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\log x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{2 - \log x}{2x\sqrt{x}}$

$g'(x) = 0$ となるのは、$2 - \log x = 0$ のとき、つまり $\log x = 2$ のときなので、$x = e^2$ です。

$x < e^2$ のとき $g'(x) > 0$ であり、$x > e^2$ のとき $g'(x) < 0$ なので、$x = e^2$ で $g(x)$ は最大値をとります。

$g(e^2) = \frac{\log e^2}{\sqrt{e^2}} = \frac{2}{e}$

したがって、$g(x) \leq \frac{2}{e}$ なので、$a > \frac{2}{e}$ であれば、任意の $x > 0$ で $\log x < a\sqrt{x}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a > \frac{2}{e}$