$sX(s) - x(0) + X(s) = 4\mathcal{L}\{te^t\}$.

## 問題の解答

以下に、与えられた微分方程式をラプラス変換を用いて解きます。

### (1) 問題の内容

初期条件 $x(0) = 1$ のもとで、微分方程式 $x'(t) + x(t) = 4te^t$ を解きます。

### (1) 解き方の手順

1. ラプラス変換を適用します。$X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\}$ とおくと、

$sX(s) - x(0) + X(s) = 4\mathcal{L}\{te^t\}$.

2. $\mathcal{L}\{te^t\} = \frac{1}{(s-1)^2}$ と $x(0) = 1$ を代入します。

$sX(s) - 1 + X(s) = \frac{4}{(s-1)^2}$.

3. $X(s)$ について解きます。

$(s+1)X(s) = \frac{4}{(s-1)^2} + 1$.

$X(s) = \frac{4}{(s+1)(s-1)^2} + \frac{1}{s+1}$.

4. 部分分数分解を行います。$\frac{4}{(s+1)(s-1)^2} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s-1} + \frac{C}{(s-1)^2}$ とおくと、

$4 = A(s-1)^2 + B(s+1)(s-1) + C(s+1)$.

$s = 1$ のとき、$4 = 2C \implies C = 2$.

$s = -1$ のとき、$4 = 4A \implies A = 1$.

$s = 0$ のとき、$4 = A - B + C = 1 - B + 2 \implies B = -1$.

よって、$X(s) = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s-1} + \frac{2}{(s-1)^2} + \frac{1}{s+1} = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s-1} + \frac{2}{(s-1)^2}$.

5. 逆ラプラス変換を適用します。

$x(t) = 2e^{-t} - e^t + 2te^t$.

### (1) 最終的な答え

$x(t) = 2e^{-t} - e^t + 2te^t$

### (2) 問題の内容

初期条件 $x(0) = 1$ のもとで、微分方程式 $x'(t) + 3x(t) = 2\sin(3t)$ を解きます。

### (2) 解き方の手順

1. ラプラス変換を適用します。

$sX(s) - x(0) + 3X(s) = 2\mathcal{L}\{\sin(3t)\}$.

2. $\mathcal{L}\{\sin(3t)\} = \frac{3}{s^2 + 9}$ と $x(0) = 1$ を代入します。

$sX(s) - 1 + 3X(s) = \frac{6}{s^2 + 9}$.

3. $X(s)$ について解きます。

$(s+3)X(s) = \frac{6}{s^2 + 9} + 1$.

$X(s) = \frac{6}{(s+3)(s^2 + 9)} + \frac{1}{s+3}$.

4. 部分分数分解を行います。$\frac{6}{(s+3)(s^2 + 9)} = \frac{A}{s+3} + \frac{Bs + C}{s^2 + 9}$ とおくと、

$6 = A(s^2 + 9) + (Bs + C)(s+3)$.

$s = -3$ のとき、$6 = 18A \implies A = \frac{1}{3}$.

$s = 0$ のとき、$6 = 9A + 3C = 3 + 3C \implies C = 1$.

$s = 1$ のとき、$6 = 10A + 4(B+C) = \frac{10}{3} + 4B + 4 \implies 4B = 6 - \frac{10}{3} - 4 = -\frac{4}{3} \implies B = -\frac{1}{3}$.

よって、$X(s) = \frac{1/3}{s+3} + \frac{(-1/3)s + 1}{s^2 + 9} + \frac{1}{s+3} = \frac{4/3}{s+3} - \frac{1/3 s}{s^2 + 9} + \frac{1}{s^2 + 9}$.

5. 逆ラプラス変換を適用します。

$x(t) = \frac{4}{3}e^{-3t} - \frac{1}{3}\cos(3t) + \frac{1}{3}\sin(3t)$.

### (2) 最終的な答え

$x(t) = \frac{4}{3}e^{-3t} - \frac{1}{3}\cos(3t) + \frac{1}{3}\sin(3t)$

### (3) 問題の内容

初期条件 $x(0) = 1, x'(0) = 1$ のもとで、微分方程式 $x''(t) - x'(t) - 6x(t) = 0$ を解きます。

### (3) 解き方の手順

1. ラプラス変換を適用します。

$s^2X(s) - sx(0) - x'(0) - (sX(s) - x(0)) - 6X(s) = 0$.

2. 初期条件を代入します。

$s^2X(s) - s - 1 - sX(s) + 1 - 6X(s) = 0$.

3. $X(s)$ について解きます。

$(s^2 - s - 6)X(s) = s$.

$X(s) = \frac{s}{s^2 - s - 6} = \frac{s}{(s-3)(s+2)}$.

4. 部分分数分解を行います。$\frac{s}{(s-3)(s+2)} = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+2}$ とおくと、

$s = A(s+2) + B(s-3)$.

$s = 3$ のとき、$3 = 5A \implies A = \frac{3}{5}$.

$s = -2$ のとき、$-2 = -5B \implies B = \frac{2}{5}$.

よって、$X(s) = \frac{3/5}{s-3} + \frac{2/5}{s+2}$.

5. 逆ラプラス変換を適用します。

$x(t) = \frac{3}{5}e^{3t} + \frac{2}{5}e^{-2t}$.

### (3) 最終的な答え

$x(t) = \frac{3}{5}e^{3t} + \frac{2}{5}e^{-2t}$

### (4) 問題の内容

初期条件 $x(0) = 0, x'(0) = 0$ のもとで、微分方程式 $x''(t) - 3x'(t) + 2x(t) = e^t$ を解きます。

### (4) 解き方の手順

1. ラプラス変換を適用します。

$s^2X(s) - sx(0) - x'(0) - 3(sX(s) - x(0)) + 2X(s) = \mathcal{L}\{e^t\}$.

2. 初期条件と $\mathcal{L}\{e^t\} = \frac{1}{s-1}$ を代入します。

$s^2X(s) - 3sX(s) + 2X(s) = \frac{1}{s-1}$.

3. $X(s)$ について解きます。

$(s^2 - 3s + 2)X(s) = \frac{1}{s-1}$.

$X(s) = \frac{1}{(s-1)(s^2 - 3s + 2)} = \frac{1}{(s-1)^2(s-2)}$.

4. 部分分数分解を行います。$\frac{1}{(s-1)^2(s-2)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{(s-1)^2} + \frac{C}{s-2}$ とおくと、

$1 = A(s-1)(s-2) + B(s-2) + C(s-1)^2$.

$s = 1$ のとき、$1 = -B \implies B = -1$.

$s = 2$ のとき、$1 = C \implies C = 1$.

$s = 0$ のとき、$1 = 2A - 2B + C = 2A + 2 + 1 \implies 2A = -2 \implies A = -1$.

よって、$X(s) = -\frac{1}{s-1} - \frac{1}{(s-1)^2} + \frac{1}{s-2}$.

5. 逆ラプラス変換を適用します。

$x(t) = -e^t - te^t + e^{2t}$.

### (4) 最終的な答え

$x(t) = -e^t - te^t + e^{2t}$

### (5) 問題の内容

初期条件 $x(0) = 0, x'(0) = 1$ のもとで、微分方程式 $x''(t) - 4x'(t) + 4x(t) = 2e^{2t}$ を解きます。

### (5) 解き方の手順

1. ラプラス変換を適用します。

$s^2X(s) - sx(0) - x'(0) - 4(sX(s) - x(0)) + 4X(s) = 2\mathcal{L}\{e^{2t}\}$.

2. 初期条件と $\mathcal{L}\{e^{2t}\} = \frac{1}{s-2}$ を代入します。

$s^2X(s) - 1 - 4sX(s) + 4X(s) = \frac{2}{s-2}$.

3. $X(s)$ について解きます。

$(s^2 - 4s + 4)X(s) = \frac{2}{s-2} + 1$.

$X(s) = \frac{2}{(s-2)^3} + \frac{1}{(s-2)^2}$.

4. 逆ラプラス変換を適用します。$\mathcal{L}^{-1}\{\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}\} = t^n e^{at}$ を用います。

$x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{2}{(s-2)^3} + \frac{1}{(s-2)^2}\} = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1!}{(s-2)^2}\} + \mathcal{L}^{-1}\{\frac{2!}{(s-2)^3}\}$

$x(t) = t e^{2t} + t^2 e^{2t}$.

### (5) 最終的な答え

$x(t) = te^{2t} + t^2 e^{2t}$