(i) $\frac{m}{2} \le \sqrt{7} < \frac{m+1}{2}$ を満たす正の整数 $m$ の値を求める。 (ii) $n \le \sqrt{7} + \sqrt{13} < n+1$ を満たす正の整数 $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

(i) $\frac{m}{2} \le \sqrt{7} < \frac{m+1}{2}$ を満たす正の整数 $m$ の値を求める。

(ii) $n \le \sqrt{7} + \sqrt{13} < n+1$ を満たす正の整数 $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(i) $\frac{m}{2} \le \sqrt{7} < \frac{m+1}{2}$ という不等式から $m$ の範囲を絞る。

まず、不等式の各辺を2倍すると、

$m \le 2\sqrt{7} < m+1$

$\sqrt{4} = 2 < \sqrt{7} < \sqrt{9} = 3$ より、 $2 < \sqrt{7} < 3$ である。したがって、$4 < 2\sqrt{7} < 6$ である。

$\sqrt{7}$ の近似値は $2.645$ なので、$2\sqrt{7} \approx 5.29$ である。

したがって、$m \le 5.29 < m+1$ を満たす整数 $m$ は $m=5$ である。

(ii) $n \le \sqrt{7} + \sqrt{13} < n+1$ を満たす正の整数 $n$ の値を求める。

$\sqrt{4} = 2 < \sqrt{7} < \sqrt{9} = 3$ より、$2 < \sqrt{7} < 3$。

$\sqrt{9} = 3 < \sqrt{13} < \sqrt{16} = 4$ より、$3 < \sqrt{13} < 4$。

$2+3 < \sqrt{7} + \sqrt{13} < 3+4$ であるから、$5 < \sqrt{7} + \sqrt{13} < 7$

$\sqrt{7} \approx 2.645$, $\sqrt{13} \approx 3.605$ なので、$\sqrt{7} + \sqrt{13} \approx 6.25$ である。

したがって、$n \le 6.25 < n+1$ を満たす整数 $n$ は $n=6$ である。

3. 最終的な答え

(i) $m = 5$

(ii) $n = 6$