次の関数を微分せよ。 (1) $y = x^2(3x - 2)^4$ (3) $y = \frac{x}{(3x - 2)^2}$ (5) $y = x\sqrt{4x + 3}$ (7) $y = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$ (9) $y = \sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 1}}$

承知いたしました。画像にある問題の中から、(1), (3), (5), (7), (9)の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = x^2(3x - 2)^4$

(3) $y = \frac{x}{(3x - 2)^2}$

(5) $y = x\sqrt{4x + 3}$

(7) $y = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$

(9) $y = \sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 1}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2(3x - 2)^4$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2$ と $v = (3x - 2)^4$ とおくと、

$u' = 2x$

$v' = 4(3x - 2)^3 \cdot 3 = 12(3x - 2)^3$

したがって、

$y' = 2x(3x - 2)^4 + x^2 \cdot 12(3x - 2)^3$

$= 2x(3x - 2)^3[(3x - 2) + 6x]$

$= 2x(3x - 2)^3(9x - 2)$

(3) $y = \frac{x}{(3x - 2)^2}$ の微分

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x$ と $v = (3x - 2)^2$ とおくと、

$u' = 1$

$v' = 2(3x - 2) \cdot 3 = 6(3x - 2)$

したがって、

$y' = \frac{1 \cdot (3x - 2)^2 - x \cdot 6(3x - 2)}{(3x - 2)^4}$

$= \frac{(3x - 2)[(3x - 2) - 6x]}{(3x - 2)^4}$

$= \frac{-3x - 2}{(3x - 2)^3}$

(5) $y = x\sqrt{4x + 3}$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$ と $v = \sqrt{4x + 3} = (4x + 3)^{1/2}$ とおくと、

$u' = 1$

$v' = \frac{1}{2}(4x + 3)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x + 3}}$

したがって、

$y' = 1 \cdot \sqrt{4x + 3} + x \cdot \frac{2}{\sqrt{4x + 3}}$

$= \sqrt{4x + 3} + \frac{2x}{\sqrt{4x + 3}}$

$= \frac{4x + 3 + 2x}{\sqrt{4x + 3}}$

$= \frac{6x + 3}{\sqrt{4x + 3}}$

(7) $y = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$ の微分

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \sqrt{x} = x^{1/2}$ と $v = \sqrt{x} + 1 = x^{1/2} + 1$ とおくと、

$u' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x} + 1) - \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} + 1)^2}$

$= \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2}}{(\sqrt{x} + 1)^2}$

$= \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} + 1)^2}$

$= \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)^2}$

(9) $y = \sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 1}}$ の微分

$y = (\frac{2x - 1}{2x + 1})^{1/2}$ と書き換えて、合成関数の微分を行います。

$u = \frac{2x - 1}{2x + 1}$ とおくと、$y = u^{1/2}$ であり、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

まず、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 1}}}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = 2x - 1$ と $v = 2x + 1$ とおくと、

$u' = 2$

$v' = 2$

したがって、

$\frac{du}{dx} = \frac{2(2x + 1) - (2x - 1)2}{(2x + 1)^2}$

$= \frac{4x + 2 - 4x + 2}{(2x + 1)^2}$

$= \frac{4}{(2x + 1)^2}$

よって、

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 1}}} \cdot \frac{4}{(2x + 1)^2}$

$= \frac{2}{\sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 1}}(2x + 1)^2}$

$= \frac{2\sqrt{2x + 1}}{\sqrt{2x - 1}(2x + 1)^2}$

$= \frac{2}{\sqrt{2x - 1}(2x + 1)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2x(3x - 2)^3(9x - 2)$

(3) $y' = \frac{-3x - 2}{(3x - 2)^3}$

(5) $y' = \frac{6x + 3}{\sqrt{4x + 3}}$

(7) $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)^2}$

(9) $y' = \frac{2}{\sqrt{2x - 1}(2x + 1)^{3/2}}$