競争市場における企業の費用関数と需要関数が与えられている。 各企業の総費用は $TC = 5 + q + \frac{1}{2}q^2$、限界費用は $MC = 1 + q$ である。 需要関数は $P = 10 - Q$ であり、$q$ は個々の企業の生産量、$Q$ は財の総量、$P$ は価格である。 現時点で5社の企業が参入しているとき、以下の問題を解く。 (1) 短期の均衡価格を求める。 (2) 短期均衡における各社の利潤を求める。 (3) 参入と退出が自由な長期均衡において、何社の企業が参入しているかを求める。

1. 問題の内容

競争市場における企業の費用関数と需要関数が与えられている。

各企業の総費用は $TC = 5 + q + \frac{1}{2}q^2$、限界費用は $MC = 1 + q$ である。

需要関数は $P = 10 - Q$ であり、$q$ は個々の企業の生産量、$Q$ は財の総量、$P$ は価格である。

現時点で5社の企業が参入しているとき、以下の問題を解く。

(1) 短期の均衡価格を求める。

(2) 短期均衡における各社の利潤を求める。

(3) 参入と退出が自由な長期均衡において、何社の企業が参入しているかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 短期の均衡価格を求める。

競争市場では、各企業は $P = MC$ となるように生産量を決定する。

$MC = 1 + q$ より、$P = 1 + q$ である。

$q = P - 1$ となる。

5社の企業が参入しているので、$Q = 5q = 5(P - 1) = 5P - 5$ である。

需要関数 $P = 10 - Q$ に代入すると、$P = 10 - (5P - 5)$ となる。

$P = 10 - 5P + 5$ より、$6P = 15$。

したがって、$P = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5$。

(2) 短期均衡における各社の利潤を求める。

$P = 2.5$ なので、$q = P - 1 = 2.5 - 1 = 1.5$。

各社の総費用は $TC = 5 + q + \frac{1}{2}q^2 = 5 + 1.5 + \frac{1}{2}(1.5)^2 = 5 + 1.5 + \frac{1}{2}(2.25) = 5 + 1.5 + 1.125 = 7.625$。

各社の収入は $TR = Pq = 2.5 \times 1.5 = 3.75$。

各社の利潤は $\pi = TR - TC = 3.75 - 7.625 = -3.875$。

(3) 参入と退出が自由な長期均衡において、何社の企業が参入しているかを求める。

長期均衡では、企業の利潤はゼロになる。つまり、平均費用 $AC$ が最小となるように生産量が決まる。

$AC = \frac{TC}{q} = \frac{5}{q} + 1 + \frac{1}{2}q$。

$AC$ を最小化するためには、$\frac{dAC}{dq} = 0$ となる $q$ を求める。

$\frac{dAC}{dq} = -\frac{5}{q^2} + \frac{1}{2} = 0$

$\frac{5}{q^2} = \frac{1}{2}$ より、$q^2 = 10$。

したがって、$q = \sqrt{10}$。

このときの $MC$ は $MC = 1 + q = 1 + \sqrt{10}$。

長期均衡では $P = MC = AC$ なので、$P = 1 + \sqrt{10}$ である。

このときの市場全体の需要量は、$P = 10 - Q$ より、$Q = 10 - P = 10 - (1 + \sqrt{10}) = 9 - \sqrt{10}$。

企業の数は $n = \frac{Q}{q} = \frac{9 - \sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{9}{\sqrt{10}} - 1 \approx \frac{9}{3.16} - 1 \approx 2.85 - 1 = 1.85$。

3. 最終的な答え

(1) 短期の均衡価格: $2.5$

(2) 短期均衡における各社の利潤: $-3.875$ (損失)

(3) 長期均衡における企業の数: $\frac{9 - \sqrt{10}}{\sqrt{10}} \approx 1.85$ 社