三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを1:2の比に内分するとき、線分BOとOQの長さの比 BO:OQを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを1:2の比に内分するとき、線分BOとOQの長さの比 BO:OQを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理、あるいはベクトルのいずれかを用いて解くことができます。ここではベクトルを用いて解きます。

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ とします。

点Rは辺ABを1:2に内分するので、$\vec{AR} = \frac{1}{3}\vec{b}$です。

点Qは辺ACを1:2に内分するので、$\vec{AQ} = \frac{1}{3}\vec{c}$です。

点Oは線分RC上にあるので、実数sを用いて

$\vec{AO} = (1-s)\vec{AR} + s\vec{AC} = (1-s)\frac{1}{3}\vec{b} + s\vec{c}$ と表せます。

点Oは線分BQ上にあるので、実数tを用いて

$\vec{AO} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AQ} = (1-t)\vec{b} + t\frac{1}{3}\vec{c}$ と表せます。

$\vec{b}$と$\vec{c}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{1-s}{3} = 1-t$

$s = \frac{t}{3}$

これを解くと、

$\frac{1 - \frac{t}{3}}{3} = 1 - t$

$1 - \frac{t}{3} = 3 - 3t$

$1-3 = \frac{t}{3} - 3t$

$-2 = -\frac{8}{3}t$

$t = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

したがって、$\vec{AO} = (1-\frac{3}{4})\vec{b} + \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}\vec{c} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

$\vec{AO} = \frac{1}{4}(\vec{AB} + \vec{AC})$

$\vec{AQ} = \frac{1}{3}\vec{c}$なので、$\vec{OQ} = \vec{AQ} - \vec{AO} = \frac{1}{3}\vec{c} - \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c} = -\frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{12}\vec{c}$

一方、点Oは線分BQ上にあるので、

$\vec{AO} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AQ}$ より、

$\vec{AO} = (1-t)\vec{b} + \frac{t}{3}\vec{c}$

$\vec{BO} = k\vec{OQ}$ となる実数kが存在する。

$\vec{AO} - \vec{AB} = k(\vec{AQ} - \vec{AO})$

$\vec{AO} - \vec{b} = k(\frac{1}{3}\vec{c} - \vec{AO})$

$\frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} - \vec{b} = k(\frac{1}{3}\vec{c} - \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c})$

$-\frac{3}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} = k(-\frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{12}\vec{c})$

$-\frac{3}{4} = -\frac{k}{4}$ かつ $\frac{1}{4} = \frac{k}{12}$

したがって、$k=3$

よって、BO:OQ = 3:1

3. 最終的な答え

BO:OQ = 3:1