次の不定積分を計算してください。 $\int \frac{yx^2 - 5}{3y - 4} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算してください。

$\int \frac{yx^2 - 5}{3y - 4} dx$

2. 解き方の手順

$x$に関する積分なので、$y$は定数として扱います。積分定数を$C$とします。

まず、被積分関数を整理します。

$\frac{yx^2 - 5}{3y - 4} = \frac{y}{3y - 4}x^2 - \frac{5}{3y - 4}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{yx^2 - 5}{3y - 4} dx = \int \left( \frac{y}{3y - 4}x^2 - \frac{5}{3y - 4} \right) dx$

積分を分けます。

$\int \frac{yx^2 - 5}{3y - 4} dx = \frac{y}{3y - 4} \int x^2 dx - \frac{5}{3y - 4} \int dx$

$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1$

$\int dx = x + C_2$

積分を実行します。

$\int \frac{yx^2 - 5}{3y - 4} dx = \frac{y}{3y - 4} \cdot \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{3y - 4} \cdot x + C$

$= \frac{yx^3}{3(3y - 4)} - \frac{5x}{3y - 4} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{yx^3}{9y - 12} - \frac{5x}{3y - 4} + C$