与えられた連立一次方程式を掃き出し法で解く問題です。連立一次方程式は行列形式で以下のように表されます。 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法で解く問題です。連立一次方程式は行列形式で以下のように表されます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

掃き出し法を用いて、拡大係数行列を簡約化します。

拡大係数行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 4 & 5 & 6 & | & 1 \\ 7 & 8 & 9 & | & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の4倍を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - 4R_1$)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & -3 & -6 & | & -3 \\ 7 & 8 & 9 & | & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の7倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 7R_1$)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & -3 & -6 & | & -3 \\ 0 & -6 & -12 & | & -6 \end{pmatrix}$

2行目を-3で割ります ($R_2 \rightarrow R_2 / -3$)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & -6 & -12 & | & -6 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の6倍を加えます ($R_3 \rightarrow R_3 + 6R_2$)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます ($R_1 \rightarrow R_1 - 2R_2$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & -1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$

この結果から、以下の連立方程式が得られます。

$x - z = -1$

$y + 2z = 1$

$z$ をパラメータ $t$ とすると、

$x = t - 1$

$y = 1 - 2t$

$z = t$

3. 最終的な答え

解は次のようになります。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t-1 \\ 1-2t \\ t \end{pmatrix}$

ここで、$t$ は任意の実数です。