不等式の空欄を埋める問題です。$(a+3b)(\frac{12}{a} + \frac{1}{b}) \ge 27$となるような、$a,b$の条件を求めます。

1. 問題の内容

不等式の空欄を埋める問題です。$(a+3b)(\frac{12}{a} + \frac{1}{b}) \ge 27$となるような、$a,b$の条件を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$(a+3b)(\frac{12}{a} + \frac{1}{b})$を展開します。

$(a+3b)(\frac{12}{a} + \frac{1}{b}) = 12 + \frac{a}{b} + \frac{36b}{a} + 3 = \frac{a}{b} + \frac{36b}{a} + 15$

したがって、

$\frac{a}{b} + \frac{36b}{a} + 15 \ge 27$

$\frac{a}{b} + \frac{36b}{a} \ge 12$ … ①

$a>0, b>0$より、$\frac{a}{b}>0$,$\frac{36b}{a}>0$であるから、相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{a}{b} + \frac{36b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot \frac{36b}{a}} = 2\sqrt{36} = 2\cdot6 = 12$ … ②

よって、①、②より、$\frac{a}{b} + \frac{36b}{a} + 15 \ge 12 + 15 = 27$

等号が成り立つのは$\frac{a}{b} = \frac{36b}{a}$より、$a^2 = 36b^2$

$a = \pm 6b$ですが、$a>0, b>0$より、$a=6b$となります。

3. 最終的な答え

タチ：36

ツテ：15

ト：2

ナニ：12

ヌ：6