3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1+3i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1+3i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

* **ステップ1: 共役複素数も解となることの利用**

3次方程式の係数が実数なので、$1+3i$ が解ならば、その共役複素数 $1-3i$ も解である。

* **ステップ2: 解と係数の関係の利用**

3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とすると、解と係数の関係より以下の式が成り立つ。今、$\alpha = 1+3i$, $\beta = 1-3i$ とおく。残りの解を $\gamma$ とする。

$\alpha + \beta + \gamma = 1$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a$

$\alpha\beta\gamma = -b$

* **ステップ3: $\gamma$ を求める**

$\alpha + \beta = (1+3i) + (1-3i) = 2$ を $\alpha + \beta + \gamma = 1$ に代入すると、

$2 + \gamma = 1$

$\gamma = -1$

したがって、他の解は $-1$ である。

* **ステップ4: $a$ を求める**

$\alpha\beta = (1+3i)(1-3i) = 1 - (3i)^2 = 1 - (-9) = 10$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a$ に $\alpha = 1+3i$, $\beta = 1-3i$, $\gamma = -1$ を代入すると、

$10 + (1-3i)(-1) + (1+3i)(-1) = a$

$10 - 1 + 3i - 1 - 3i = a$

$8 = a$

したがって、$a=8$ である。

* **ステップ5: $b$ を求める**

$\alpha\beta\gamma = -b$ に $\alpha = 1+3i$, $\beta = 1-3i$, $\gamma = -1$ を代入すると、

$(10)(-1) = -b$

$-10 = -b$

$b = 10$

したがって、$b=10$ である。

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = 10$

他の解：-1, $1-3i$