ある物体を高さ5mから自由落下させたとき、地面にぶつかるたびに70%の高さまで跳ね返る。物体が静止するまでの上下する総距離を求める。

1. 問題の内容

ある物体を高さ5mから自由落下させたとき、地面にぶつかるたびに70%の高さまで跳ね返る。物体が静止するまでの上下する総距離を求める。

2. 解き方の手順

まず、最初に落下する距離は5mです。

次に、1回目に跳ね返る高さは $5 \times 0.7 = 3.5$ m。

これは跳ね返って上昇する距離であり、再び同じ距離だけ落下します。つまり、$3.5 \times 2 = 7$ mが2回目の上下運動の距離になります。

同様に、2回目に跳ね返る高さは $3.5 \times 0.7 = 2.45$ m。

これも上昇と落下があるので、$2.45 \times 2 = 4.9$ mが3回目の上下運動の距離になります。

このように、跳ね返るたびに高さは0.7倍になっていくので、上下運動の距離は等比数列になります。

初項は、$5$ (最初の落下)

公比は、$0.7 \times 2 = 1.4$ ではなく、$2 \times 0.7=1.4$ ではない

最初の落下距離 $5$ を除いた、2回目以降の上昇と下降の距離の合計を等比数列の和として計算します。

初項は $5 \times 0.7 \times 2 = 7$

公比は $0.7$

したがって、最初の落下距離 $5$ を加えた、すべての上下運動の距離の合計は、

$5 + \frac{7}{1-0.7} = 5 + \frac{7}{0.3} = 5 + \frac{70}{3} = \frac{15}{3} + \frac{70}{3} = \frac{85}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{85}{3}$ m

$\frac{85}{3} = 28.333...$

最終的な答えは $\frac{85}{3}$ m　もしくは約 $28.33$ m です。