給水管と排水管のついた水槽に40Lの水が入っている。 手順1：排水管を開いて排水を開始 手順2：排水管を開いてから6分後に、排水を続けながら、給水管も開いて毎分8Lの割合で給水を開始 手順3：給水管を開いてから5分後に給水管を閉じて、水槽が空になるまで排水を続けた。 排水管を開いてから$x$分後の水槽の水の量を$y$Lとする。図2は、排水管を開いてから6分後までの$x$と$y$の関係を表したグラフである。 (1) 排水管からの排水量は毎分何Lか求めよ。 (2) 排水管を開いてから8分後の水槽の水の量を求めよ。 (3) 排水管を開いて6分後から、水槽が空になるまでの$x$と$y$の関係を表すグラフを解答用紙の方眼にかき加えよ。 (4) 給水管を開いている時間を短くして、水槽が空になるまでの時間を今より4分短くしたい。排水管を開いてから何分何秒後に給水管を閉じればよいか求めよ。ただし、給水管を開く時間は、排水管を開いてから6分後で変えず、また、毎分の給水量や排水量の条件も変えないものとする。

1. 問題の内容

給水管と排水管のついた水槽に40Lの水が入っている。

手順1：排水管を開いて排水を開始

手順2：排水管を開いてから6分後に、排水を続けながら、給水管も開いて毎分8Lの割合で給水を開始

手順3：給水管を開いてから5分後に給水管を閉じて、水槽が空になるまで排水を続けた。

排水管を開いてから$x$分後の水槽の水の量を$y$Lとする。図2は、排水管を開いてから6分後までの$x$と$y$の関係を表したグラフである。

(1) 排水管からの排水量は毎分何Lか求めよ。

(2) 排水管を開いてから8分後の水槽の水の量を求めよ。

(3) 排水管を開いて6分後から、水槽が空になるまでの$x$と$y$の関係を表すグラフを解答用紙の方眼にかき加えよ。

(4) 給水管を開いている時間を短くして、水槽が空になるまでの時間を今より4分短くしたい。排水管を開いてから何分何秒後に給水管を閉じればよいか求めよ。ただし、給水管を開く時間は、排水管を開いてから6分後で変えず、また、毎分の給水量や排水量の条件も変えないものとする。

2. 解き方の手順

(1)

グラフより、排水管を開いてから6分後までに水槽の水は40Lから16Lに減っているので、6分間で40-16=24L減っている。したがって、排水量は毎分24/6=4Lである。

(2)

排水管を開いてから6分後から給水管を開いているので、毎分8Lの給水と毎分4Lの排水が行われる。したがって、水槽の水は毎分8-4=4Lずつ増える。

8分後の水槽の水の量は、6分後の16Lに、2分間の増加量を加えたものなので、16+4*2=24Lである。

(3)

給水管を閉じるのは、排水管を開いてから6+5=11分後である。給水管を閉じると毎分4Lで水が減っていく。グラフより、水槽が空になるのは排水管を開いてから16分後なので、(11,y)から(16,0)へ向かう直線を引けば良い。6分から11分まで直線を引き、11分以降は傾きの違う直線をひけばよい。

(4)

水槽が空になるまでの時間を4分短くしたいので、16分-4分=12分で水槽が空になるようにする。

給水管を開いている時間は変えないので、給水管を開いてから5分後に給水管を閉じる。

給水管を開くのは排水管を開いてから6分後なので、給水管を閉じるのは排水管を開いてから6+5=11分後である。

排水管を開いてから11分から12分の間に、水槽の水は4L減るので、11分後の水の量は4Lである必要がある。

給水管を開いてから5分間の給水量は8L*5=40Lなので、6分後の水の量+40L-6分から11分までの排水量=4Lとなればよい。

6分後の水の量を$A$とすると、$A+40 - 4*5 = 4$より、$A=-16$となりありえない。

給水量を増やすしかない。

現在、排水のみの時間（0分から6分と、11分から16分）が合計11分。排水量：4L/分。

目標排水のみの時間(0分から6分と、X分から12分）が合計11 - (16-12) = 7分 - (X-6) = 13 - X分。排水量：4L/分。

給水管を開いている時間（6分からX分）がX-6分。給水量8L/分。

水槽に入っている水は40L。

40 + (X-6) * 8 - (13-X) * 4 = 0

40 + 8X - 48 - 52 + 4X = 0

12X - 60 = 0

12X = 60

X = 5

これはおかしい。

給水管を開くのは6分後。給水管を閉じる時間をt分後とする。

給水管を開いているのはt-6分間。給水量は8(t-6)。

排水のみの時間：0分から6分、t分から12分。合計12-t+6=18-t分。排水量は4(18-t)。

40 + 8(t-6) - 4(18-t) = 0

40 + 8t - 48 - 72 + 4t = 0

12t - 80 = 0

12t = 80

t = 80/12 = 20/3 = 6 + 2/3 = 6分40秒

3. 最終的な答え

(1) 4L

(2) 24L

(3) グラフ省略

(4) 6分40秒