給水管と排水管がついた水槽に40Lの水が入っている。以下の手順で給水と排水を行う。 手順1：排水管を開き、一定の割合で排水を開始する。 手順2：排水管を開いてから6分後に、排水を続けながら、給水管を開き、毎分8Lの割合で給水を開始する。 手順3：給水管を開いてから5分後に給水管を閉じ、水槽が空になるまで手順1と同じ割合で排水を続ける。 排水管を開いてから$x$分後の水槽の水の量を$y$Lとする。図2は、排水管を開いてから6分後までの$x$と$y$の関係を表すグラフである。 (1) 排水管からの排水量は毎分何Lか求める。 (2) 排水管を開いてから8分後の水槽の水の量を求める。 (3) 排水管を開いて6分後から、水槽が空になるまでの$x$と$y$の関係を表すグラフを解答用紙に書き加える。 (4) 給水管を開いている時間を短くして、水槽が空になるまでの時間をいまより4分短くしたい。排水管を開いてから何分何秒後に給水管を閉じればよいか求める。ただし、給水管を開く時間は、排水管を開いてから6分後で変えず、また、毎分の給水量や排水量の条件も変えないものとする。

1. 問題の内容

給水管と排水管がついた水槽に40Lの水が入っている。以下の手順で給水と排水を行う。

手順1：排水管を開き、一定の割合で排水を開始する。

手順2：排水管を開いてから6分後に、排水を続けながら、給水管を開き、毎分8Lの割合で給水を開始する。

手順3：給水管を開いてから5分後に給水管を閉じ、水槽が空になるまで手順1と同じ割合で排水を続ける。

排水管を開いてから$x$分後の水槽の水の量を$y$Lとする。図2は、排水管を開いてから6分後までの$x$と$y$の関係を表すグラフである。

(1) 排水管からの排水量は毎分何Lか求める。

(2) 排水管を開いてから8分後の水槽の水の量を求める。

(3) 排水管を開いて6分後から、水槽が空になるまでの$x$と$y$の関係を表すグラフを解答用紙に書き加える。

(4) 給水管を開いている時間を短くして、水槽が空になるまでの時間をいまより4分短くしたい。排水管を開いてから何分何秒後に給水管を閉じればよいか求める。ただし、給水管を開く時間は、排水管を開いてから6分後で変えず、また、毎分の給水量や排水量の条件も変えないものとする。

2. 解き方の手順

(1)

グラフより、排水管を開いてから6分後の水量は10Lである。最初の水量は40Lなので、6分間で30L排水されたことになる。

したがって、排水量は毎分$30L / 6分 = 5L/分$である。

(2)

排水管を開いてから6分後から給水管を開き、毎分8L給水し、毎分5L排水するので、毎分$8L - 5L = 3L$ずつ水が増える。

6分後から8分後までの2分間で、$3L/分 \times 2分 = 6L$増える。

6分後の水量は10Lなので、8分後の水量は$10L + 6L = 16L$である。

(3)

給水管を開いて5分後に給水管を閉じているので、排水管を開いてから11分後に給水管を閉じている。

給水管を開いてから5分間で、$3L/分 \times 5分 = 15L$増えるので、11分後の水量は$10L + 15L = 25L$となる。

給水管を閉じた後は毎分5L排水されるので、空になるまでの時間は$25L / 5L/分 = 5分$である。

したがって、空になるのは排水管を開いてから$11分 + 5分 = 16分$後である。

よって、点(6, 10)と点(16, 0)を結ぶ直線をグラフに書き加える。

(4)

現在、水槽が空になるまで16分かかる。これを4分短くしたいので、12分で空になるようにしたい。

排水管を開いてから6分後までは変わらないので、6分後の水量は10Lである。

給水管を開いている時間を$t$分とすると、給水量は$8t$Lで、排水量は$5t$Lなので、$3t$L増える。

給水管を閉じた後の排水時間は$12 - 6 - t = 6 - t$分である。この間に排水される量は$5(6-t)$Lである。

したがって、$10 + 3t - 5(6-t) = 0$となる。

$10 + 3t - 30 + 5t = 0$

$8t = 20$

$t = 20/8 = 5/2 = 2.5$分

つまり、給水管を閉じるまでの時間を2.5分にする。

排水管を開いてから$6 + 2.5 = 8.5$分後に給水管を閉じる。

0.5分は30秒なので、8分30秒後に給水管を閉じる。

3. 最終的な答え

(1) 5L/分

(2) 16L

(3) 解答用紙に点(6, 10)と点(16, 0)を結ぶ直線を書き加える。

(4) 8分30秒後