関数 $y = \sin\theta - \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta + 1$ が与えられている。また、$x = \sin\theta - \cos\theta$ とおく。 (1) $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y$ の値を求める。 (2) $x$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ ($r > 0$, $-\pi \leq \alpha < \pi$) の形で表し、また、$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、$x$ のとり得る値の範囲を求める。 (3) $y$ を $x$ を用いて表し、また、$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、方程式 $y = k$ を満たす $\theta$ が存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin\theta - \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta + 1$ が与えられている。また、$x = \sin\theta - \cos\theta$ とおく。

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y$ の値を求める。

(2) $x$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ ($r > 0$, $-\pi \leq \alpha < \pi$) の形で表し、また、$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、$x$ のとり得る値の範囲を求める。

(3) $y$ を $x$ を用いて表し、また、$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、方程式 $y = k$ を満たす $\theta$ が存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin\theta = 1$、$\cos\theta = 0$ であるから、

$y = 1 - 0 + 2(1)(0) + 1 = 2$。

(2) $x = \sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)$ である。したがって、$r = \sqrt{2}$、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$。

$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、$-\frac{\pi}{4} \leq \theta - \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{4}$。

したがって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) \leq 1$ であるから、

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} \leq \sqrt{2}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) \leq \sqrt{2}$

$-1 \leq x \leq \sqrt{2}$。

(3) $x = \sin\theta - \cos\theta$ より、

$x^2 = (\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$。

したがって、$2\sin\theta\cos\theta = 1 - x^2$。

$y = \sin\theta - \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta + 1 = x + (1 - x^2) + 1 = -x^2 + x + 2$。

$y = -x^2 + x + 2 = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}$。

$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、$-1 \leq x \leq \sqrt{2}$ であり、$y = k$ を満たす $\theta$ が存在するための $k$ の範囲を求める。

$x = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$。

$x = \sqrt{2}$ のとき、$y = -(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} + 2 = -2 + \sqrt{2} + 2 = \sqrt{2}$。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4}$。

したがって、$0 \leq y \leq \frac{9}{4}$ かつ $\sqrt{2} \leq \frac{9}{4}$ であるから、$0 \leq k \leq \frac{9}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2$

(2) $x = \sqrt{2}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)$, $-1 \leq x \leq \sqrt{2}$

(3) $y = -x^2 + x + 2$, $0 \leq k \leq \frac{9}{4}$