$n$ は3以上の奇数とし、$A$ は $n$ 次正方行列で交代行列、すなわち ${}^t A = -A$ を満たすとする。 (1) $A$ の行列式 $|A|$ の値を求めよ。 (2) 命題「$A$ の余因子行列は交代行列である」は真か偽かを理由とともに述べよ。

1. 問題の内容

$n$ は3以上の奇数とし、$A$ は $n$ 次正方行列で交代行列、すなわち ${}^t A = -A$ を満たすとする。

(1) $A$ の行列式 $|A|$ の値を求めよ。

(2) 命題「$A$ の余因子行列は交代行列である」は真か偽かを理由とともに述べよ。

2. 解き方の手順

(1) $A$ は交代行列なので、${}^t A = -A$ である。行列式の性質として、$\det(A) = \det({}^t A)$ が成り立つ。したがって、

$\det(A) = \det({}^t A) = \det(-A)$.

$A$ が $n$ 次正方行列であるとき、$\det(-A) = (-1)^n \det(A)$.

したがって、$\det(A) = (-1)^n \det(A)$.

$n$ は奇数なので、 $(-1)^n = -1$ である。

ゆえに、$\det(A) = -\det(A)$.

したがって、 $2\det(A) = 0$ となり、$\det(A) = 0$.

(2) $A$ の余因子行列を $\tilde{A}$ と表すと、$A \tilde{A} = \tilde{A} A = \det(A) E$ が成り立つ ($E$ は単位行列)。

$\det(A) = 0$ より、$A \tilde{A} = \tilde{A} A = 0$.

$\tilde{A} = (\det(A)) A^{-1}$が成り立つ。ただし、$A^{-1}$は$A$の逆行列。ここで、$A$が正則であるときのみ、$A^{-1}$が存在する。

しかし、$A$は交代行列であり、$\det(A) = 0$ なので、$A$ は正則ではない。

$A$ が交代行列なので、${}^t A = -A$ である。余因子行列の転置は、元の行列の転置の余因子行列に等しいので、${}^t \tilde{A} = \widetilde{{}^t A} = \widetilde{-A}$.

行列式の性質より、$\widetilde{-A}$は $(-1)^{n-1}$ を各要素に掛けたものになる。

${}^t \tilde{A} = (-1)^{n-1} \tilde{A}$.

$n$ は奇数なので、$n-1$ は偶数である。したがって、${}^t \tilde{A} = \tilde{A}$.

これは、$\tilde{A}$ が対称行列であることを意味する。

したがって、$A$ の余因子行列は交代行列であるという命題は偽である。

3. 最終的な答え

(1) $|A| = 0$

(2) 偽