直方体において、以下の2直線のなす角をそれぞれ求める。 (1) ADとEF (2) ACとGH (3) EGとBC

1. 問題の内容

直方体において、以下の2直線のなす角をそれぞれ求める。

(1) ADとEF

(2) ACとGH

(3) EGとBC

2. 解き方の手順

(1) ADとEFのなす角：

直方体の性質より、ADとEFは平行である。したがって、これらのなす角は0度である。

(2) ACとGHのなす角：

ACとGHはねじれの位置にある。GHを平行移動してDCに重ねると、ACとDCのなす角を求めればよい。

三角形ADCにおいて、$AD = \sqrt{3}$, $DC = 1$である。また、直方体なので角ADCは直角である。

したがって、$\tan(\angle ACD) = \frac{AD}{DC} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$である。

$\tan(\theta) = \sqrt{3}$を満たす角$\theta$は$\theta = 60^\circ$である。

したがって、ACとGHのなす角は60度である。

(3) EGとBCのなす角：

EGとBCはねじれの位置にある。BCを平行移動してAEに重ねると、EGとAEのなす角を求めればよい。

三角形AEGにおいて、$AE = 1$, $EG = \sqrt{EF^2+FG^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2$である。

また、$AG = \sqrt{AE^2+EG^2-2AE\cdot EG\cos(\angle AEG)}=\sqrt{AC^2+CG^2}=\sqrt{(\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2})^2+1^2}=\sqrt{5}$である。

三角形AEGにおいて余弦定理より、

$AG^2 = AE^2 + EG^2 - 2 \cdot AE \cdot EG \cdot \cos{\angle AEG}$

$5 = 1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos{\angle AEG}$

$0 = -4\cos{\angle AEG}$

$\cos{\angle AEG} = 0$

したがって、$\angle AEG = 90^\circ$である。

EGとBCのなす角は90度である。

3. 最終的な答え

(1) ADとEFのなす角：0度

(2) ACとGHのなす角：60度

(3) EGとBCのなす角：90度