関数 $f(x) = 2x^3 + 5x - 11$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $f'(3)$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 + 5x - 11$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $f'(3)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

多項式の微分は、各項ごとに $x^n$ の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ を適用します。

定数の微分は0です。

$f(x) = 2x^3 + 5x - 11$ の各項を微分します。

- $2x^3$ の微分: $\frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$

- $5x$ の微分: $\frac{d}{dx}(5x) = 5 \cdot 1x^{1-1} = 5$

- $-11$ の微分: $\frac{d}{dx}(-11) = 0$

したがって、$f'(x)$ は次のようになります。

$f'(x) = 6x^2 + 5$

次に、$f'(3)$ を計算します。

$f'(x)$ に $x = 3$ を代入します。

$f'(3) = 6(3)^2 + 5 = 6(9) + 5 = 54 + 5 = 59$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 6x^2 + 5$

$f'(3) = 59$