与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ の行列式の値 $|A|$、余因子行列 $\tilde{A}$、逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ の行列式の値 $|A|$、余因子行列 $\tilde{A}$、逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列式 $|A|$ の計算

行列式は次のように計算できます。

$|A| = 1 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot (-3)) - 4 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) + (-3) \cdot (2 \cdot (-3) - 2 \cdot (-1))$

$= 1 \cdot (4 + 3) - 4 \cdot (4 + 1) - 3 \cdot (-6 + 2)$

$= 1 \cdot 7 - 4 \cdot 5 - 3 \cdot (-4)$

$= 7 - 20 + 12$

$= -1$

(2) 余因子行列 $\tilde{A}$ の計算

余因子行列の各要素は次のように計算されます。

$\tilde{a}_{11} = (2 \cdot 2 - 1 \cdot (-3)) = 4 + 3 = 7$

$\tilde{a}_{12} = -(2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = -(4 + 1) = -5$

$\tilde{a}_{13} = (2 \cdot (-3) - 2 \cdot (-1)) = -6 + 2 = -4$

$\tilde{a}_{21} = -(4 \cdot 2 - (-3) \cdot (-3)) = -(8 - 9) = 1$

$\tilde{a}_{22} = (1 \cdot 2 - (-3) \cdot (-1)) = 2 - 3 = -1$

$\tilde{a}_{23} = -(1 \cdot (-3) - 4 \cdot (-1)) = -(-3 + 4) = -1$

$\tilde{a}_{31} = (4 \cdot 1 - (-3) \cdot 2) = 4 + 6 = 10$

$\tilde{a}_{32} = -(1 \cdot 1 - (-3) \cdot 2) = -(1 + 6) = -7$

$\tilde{a}_{33} = (1 \cdot 2 - 4 \cdot 2) = 2 - 8 = -6$

したがって、余因子行列は

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} 7 & -5 & -4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 10 & -7 & -6 \end{bmatrix}$

(3) 逆行列 $A^{-1}$ の計算

逆行列は、余因子行列の転置を行列式で割ることで計算されます。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A}^T = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 7 & 1 & 10 \\ -5 & -1 & -7 \\ -4 & -1 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -1 & -10 \\ 5 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 6 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

行列式の値 $|A| = -1$

余因子行列 $\tilde{A} = \begin{bmatrix} 7 & -5 & -4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 10 & -7 & -6 \end{bmatrix}$

逆行列 $A^{-1} = \begin{bmatrix} -7 & -1 & -10 \\ 5 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 6 \end{bmatrix}$