与えられた関数と、$x$の変域から、$y$の変域を求めたり、$y$の変域から、$x$の変域の端点の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) 関数 $y = \frac{1}{4}x^2$ で、$x$ の変域が $a \leq x \leq 2$ のときの $y$ の変域が $0 \leq y \leq 1$ である。$a$ の値を求めよ。 (2) 関数 $y = ax^2$ で、$x$ の変域が $-1 \leq x \leq 2$ のときの $y$ の変域が $-8 \leq y \leq 0$ である。$a$ の値を求めよ。 (3) 関数 $y = ax^2$ で、$x$ の変域が $-3 \leq x \leq -1$ のときの $y$ の変域が $3 \leq y \leq b$ である。$a, b$ の値を求めよ。 (4) 関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ で、$x$ の変域が $a \leq x \leq 4$ のときの $y$ の変域が $-18 \leq y \leq b$ である。$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数と、$x$の変域から、$y$の変域を求めたり、$y$の変域から、$x$の変域の端点の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) 関数 $y = \frac{1}{4}x^2$ で、$x$ の変域が $a \leq x \leq 2$ のときの $y$ の変域が $0 \leq y \leq 1$ である。$a$ の値を求めよ。

(2) 関数 $y = ax^2$ で、$x$ の変域が $-1 \leq x \leq 2$ のときの $y$ の変域が $-8 \leq y \leq 0$ である。$a$ の値を求めよ。

(3) 関数 $y = ax^2$ で、$x$ の変域が $-3 \leq x \leq -1$ のときの $y$ の変域が $3 \leq y \leq b$ である。$a, b$ の値を求めよ。

(4) 関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ で、$x$ の変域が $a \leq x \leq 4$ のときの $y$ の変域が $-18 \leq y \leq b$ である。$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = \frac{1}{4}x^2$ は $x = 0$ のとき最小値 $y = 0$ をとる下に凸なグラフである。$x$ の変域 $a \leq x \leq 2$ において $y$ の変域が $0 \leq y \leq 1$ であることから、$x = 2$ のときに最大値 $y = \frac{1}{4}(2)^2 = 1$ をとることがわかる。$a \leq x \leq 2$の範囲に$x=0$が含まれる必要があるから、$a \leq 0$。$y$の最小値は0であるので、$a=0$の場合、$x=0$のとき$y=0$となり、$a < 0$の場合$x=a$のとき$y$の値は正になるので、$a=0$。

(2)

関数 $y = ax^2$ で、$x$ の変域が $-1 \leq x \leq 2$ のときの $y$ の変域が $-8 \leq y \leq 0$ であることから、$a < 0$ であり、$x=2$ のときに $y = -8$ となる。

$y = a(2)^2 = 4a = -8$ より、$a = -2$。

(3)

関数 $y = ax^2$ で、$x$ の変域が $-3 \leq x \leq -1$ のときの $y$ の変域が $3 \leq y \leq b$ である。$x$が負の値しか取らないことと、$y$が正の値しか取らないことから、$a$は負の数ではないので、$a>0$。$x=-1$のとき$y=a(-1)^2=a$、$x=-3$のとき$y=a(-3)^2=9a$なので、$a=3, b=9a=27$。

(4)

関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ で、$x$ の変域が $a \leq x \leq 4$ のときの $y$ の変域が $-18 \leq y \leq b$ である。$x = 4$ のとき、$y = -\frac{1}{2}(4)^2 = -8$。したがって，$y$ の最小値は $y = -18$ であり、$a \leq x \leq 4$の範囲で、$x=a$のとき$y=-18$となる。$-\frac{1}{2}a^2 = -18$ より、$a^2 = 36$。したがって、$a = \pm 6$。$a \leq x \leq 4$より、$a<4$なので、$a=-6$。$x=0$が含まれないので、$y$の最大値は$x=4$のときで、$y=-\frac{1}{2} (0)^2 = 0$なので、$b=-8$。したがって、$y$の変域は$-18 \leq y \leq -8$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 0$

(2) $a = -2$

(3) $a = 3$, $b = 27$

(4) $a = -6$, $b = -8$