$\frac{p}{\sqrt{2} - 1} + \frac{q}{\sqrt{2}} = 1$ を満たす有理数 $p, q$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{p}{\sqrt{2} - 1} + \frac{q}{\sqrt{2}} = 1$ を満たす有理数 $p, q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{p}{\sqrt{2} - 1}$ の分母を有理化します。

$\frac{p}{\sqrt{2} - 1} = \frac{p(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{p(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = p(\sqrt{2} + 1) = p\sqrt{2} + p$

与えられた式に代入すると、

$p\sqrt{2} + p + \frac{q}{\sqrt{2}} = 1$

$\frac{q}{\sqrt{2}}$ を有理化すると、$\frac{q}{\sqrt{2}} = \frac{q\sqrt{2}}{2}$ となります。

よって、

$p\sqrt{2} + p + \frac{q\sqrt{2}}{2} = 1$

$(p + \frac{q}{2})\sqrt{2} + p = 1$

$p$ と $q$ は有理数であるから、$p + \frac{q}{2}$ と $p$ は有理数です。

左辺が有理数となるためには、$\sqrt{2}$ の係数が0でなければなりません。

したがって、$p + \frac{q}{2} = 0$ となります。また、このとき $p = 1$ となります。

$p + \frac{q}{2} = 0$ に $p = 1$ を代入すると、

$1 + \frac{q}{2} = 0$

$\frac{q}{2} = -1$

$q = -2$

3. 最終的な答え

$p = 1, q = -2$