単位円上で、角 $\alpha$ の動径と円の交点をP、角 $\beta$ の動径と円の交点をQとする。このとき、問題文中の②が成り立つ、つまり $\sin \alpha = \sin \beta$ が成り立つときに、点Pと点Qの間に常に成り立つ関係として、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

単位円上で、角 $\alpha$ の動径と円の交点をP、角 $\beta$ の動径と円の交点をQとする。このとき、問題文中の②が成り立つ、つまり $\sin \alpha = \sin \beta$ が成り立つときに、点Pと点Qの間に常に成り立つ関係として、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

$\sin \alpha = \sin \beta$ という条件から、$\alpha$ と $\beta$ の関係を考えます。

$\sin \alpha = \sin \beta$ が成り立つのは、以下の2つの場合です。

(1) $\alpha = \beta + 2n\pi$ （nは整数）

(2) $\alpha = \pi - \beta + 2n\pi$ （nは整数）

(1) の場合、$\alpha$ と $\beta$ は同じ角を表すので、点Pと点Qは一致します。

(2) の場合、$\alpha = \pi - \beta + 2n\pi$ より、$\alpha + \beta = \pi + 2n\pi$ となります。これは、$\alpha$ と $\beta$ が $y$ 軸に関して対称であることを意味します。なぜならば、$y$軸に対して対象な角度$\alpha$, $\beta$を持つ点P, Qは、y座標が等しいからです。

選択肢を検討します。

* ⓪ 点Pと点Qは同じ点である：(1) の場合は正しいですが、(2) の場合は誤りです。

* ① 点Pのx座標と、点Qのx座標が等しい：(2) の場合、x座標は異符号になります。

* ② 点Pのy座標と、点Qのy座標が等しい：(2) の場合、y座標は等しくなります。

* ③ 点Pと点Qは、原点に関して対称である：(2) の場合、原点対称ではありません。

したがって、常に成り立つ関係は、点Pのy座標と点Qのy座標が等しいことです。

3. 最終的な答え

②