$\theta \neq \frac{\pi}{ア}$とし、$sin \alpha = sin \beta$という関係がある。 (i) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の場合、$\alpha + \beta = オ$を満たすことがわかる。このとき、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$のときの$\theta = \frac{カ}{キク} \pi$ を求める。 (ii) $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$の場合、$\alpha + \beta = ケ$ を満たすことがわかる。このとき、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$のときの$\theta = \frac{コサ}{シス} \pi$ を求める。

1. 問題の内容

$\theta \neq \frac{\pi}{ア}$とし、$sin \alpha = sin \beta$という関係がある。

(i) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の場合、$\alpha + \beta = オ$を満たすことがわかる。このとき、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$のときの$\theta = \frac{カ}{キク} \pi$ を求める。

(ii) $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$の場合、$\alpha + \beta = ケ$ を満たすことがわかる。このとき、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$のときの$\theta = \frac{コサ}{シス} \pi$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\theta \neq \frac{\pi}{ア}$ を考え、$\alpha = \theta$とおくと、$sin \theta = sin \beta$ となる。

$sin \alpha = sin \beta$ のとき、$\alpha + \beta = \pi$ または $\beta = \alpha + 2n\pi$ または $\beta = \pi - \alpha + 2n\pi$ (nは整数)である。

(i) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の場合を考える。

$\beta = \pi - \theta$のとき、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$\frac{\pi}{2} \le \pi - \theta \le \pi$となる。よって、$0 \le \beta \le \pi$ である。

$\alpha + \beta = \theta + (\pi - \theta) = \pi$ なので、$オ = \pi$。

$\theta \neq \frac{\pi}{ア}$ より、$\theta \neq \frac{\pi}{6}$ と考えられ、$\beta = \pi - \theta$。

$sin \alpha = sin \beta$のとき、$\theta = \beta$ または $\theta + \beta = \pi$ である。

もし$\theta = \frac{\pi}{6}$なら、$\frac{\pi}{6} + \beta = \pi$ より $\beta = \frac{5}{6}\pi$

$\theta \neq \frac{\pi}{6}$のとき、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$2\theta = \pi$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ なので $\theta = \frac{1}{2}\pi$ となる。

したがって $カ=1$、$キク=2$。

(ii) $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ の場合を考える。

$\alpha + \beta = 2\pi$ となるので、$ケ=2\pi$。

このとき、$\beta = 2\pi - \theta$ より、$\pi < \beta < \frac{3}{2}\pi$

もし $\alpha = \theta$とすると、$\alpha + \beta = 2\pi$を満たすので、

$2\theta = 2\pi$なので、$\theta = \pi$

$\theta = \frac{5}{6}\pi$のとき、$\beta = 2\pi - \frac{5}{6}\pi = \frac{7}{6}\pi$ となるので、

$\theta = \frac{5}{6}\pi$

したがって $コサ=5$、$シス=6$。

3. 最終的な答え

ア：6

オ：π

カ：1

キク：2

ケ：2π

コサ：5

シス：6