3つの直線 $l_1: 2x - y - 2 = 0$, $l_2: x + y - 10 = 0$, $l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ に関する問題です。 - $l_1$ と $l_2$ の交点の座標を求めます。 - $l_3$ の傾きを求めます。 - $l_3$ が $a$ の値によらず通る点を求めます。 - $l_1$ と $l_3$ が平行になる $a$ の値を求めます。 - $l_2$ と $l_3$ が平行になる $a$ の値を求めます。 - $l_1$, $l_2$, $l_3$ の3本の直線で三角形が作れるための $a$ の条件を求めます。 - $l_1$, $l_2$, $l_3$ の3本の直線で直角三角形が作れる $a$ の値を求めます。 - 直角三角形の外接円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

3つの直線 $l_1: 2x - y - 2 = 0$, $l_2: x + y - 10 = 0$, $l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ に関する問題です。

- $l_1$ と $l_2$ の交点の座標を求めます。

- $l_3$ の傾きを求めます。

- $l_3$ が $a$ の値によらず通る点を求めます。

- $l_1$ と $l_3$ が平行になる $a$ の値を求めます。

- $l_2$ と $l_3$ が平行になる $a$ の値を求めます。

- $l_1$, $l_2$, $l_3$ の3本の直線で三角形が作れるための $a$ の条件を求めます。

- $l_1$, $l_2$, $l_3$ の3本の直線で直角三角形が作れる $a$ の値を求めます。

- 直角三角形の外接円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$l_1$ と $l_2$ の交点の座標を求めます。

連立方程式

$2x - y - 2 = 0$

$x + y - 10 = 0$

を解きます。

2つの式を足すと

$3x - 12 = 0$

$x = 4$

$x = 4$ を $x + y - 10 = 0$ に代入すると

$4 + y - 10 = 0$

$y = 6$

よって、$l_1$ と $l_2$ の交点の座標は $(4, 6)$ です。

次に、$l_3$ の傾きを求めます。

$ax - y - 2a + 4 = 0$ を $y$ について解くと

$y = ax - 2a + 4$

したがって、$l_3$ の傾きは $a$ です。

次に、$l_3$ が $a$ の値によらず通る点を求めます。

$y = ax - 2a + 4$ を $a$ について整理すると

$a(x - 2) - y + 4 = 0$

これが任意の $a$ について成り立つためには

$x - 2 = 0$ かつ $-y + 4 = 0$

したがって、$x = 2$ かつ $y = 4$

よって、$l_3$ が $a$ の値によらず通る点は $(2, 4)$ です。

次に、$l_1$ と $l_3$ が平行になる $a$ の値を求めます。

$l_1$ の傾きは $2$ です。

$l_3$ の傾きは $a$ です。

したがって、$l_1$ と $l_3$ が平行になるのは $a = 2$ のときです。

次に、$l_2$ と $l_3$ が平行になる $a$ の値を求めます。

$l_2$ の傾きは $-1$ です。

$l_3$ の傾きは $a$ です。

したがって、$l_2$ と $l_3$ が平行になるのは $a = -1$ のときです。

次に、$l_1$, $l_2$, $l_3$ の3本の直線で三角形が作れるための $a$ の条件を求めます。

3本の直線が三角形を作るためには、どの2本の直線も平行であってはいけません。

したがって、$a \neq 2$ かつ $a \neq -1$ かつ $a \neq 0$ です。

次に、$l_1$, $l_2$, $l_3$ の3本の直線で直角三角形が作れる $a$ の値を求めます。

$l_1$ の傾きは $2$ です。

$l_2$ の傾きは $-1$ です。

$l_3$ の傾きは $a$ です。

$l_1$ と $l_2$ は垂直ではありません。

$l_1$ と $l_3$ が垂直になるのは $2a = -1$ すなわち $a = -1/2$ のときです。

$l_2$ と $l_3$ が垂直になるのは $-a = -1$ すなわち $a = 1$ のときです。

したがって、直角三角形が作れるのは $a = -1/2$ または $a = 1$ のときです。

$a = -1/2$ のとき、3本の直線は三角形を作ることができます。

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 6

ウ: $a$

エ: (2, 4)

オ: 2

カキ: -1

ク: 0

ケコ: -1

サ: 2