領域 $D = \{(x, y) \mid 1 \le x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y \ge 0\}$ において、重積分 $\iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) \mid 1 \le x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y \ge 0\}$ において、重積分 $\iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた領域 $D$ は、$x^2 + y^2 = 1$ と $x^2 + y^2 = 4$ で囲まれた領域で、かつ $x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ であることから、中心が原点である半径1と2の円の第一象限の部分になります。

したがって、極座標変換を行うのが適切です。

極座標変換:

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$

$\sqrt{x^2 + y^2} = r$

積分領域 $D$ は $1 \le r \le 2$ かつ $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、重積分は次のように変換されます。

$\iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy = \int_0^{\pi/2} \int_1^2 r \cdot r \, dr \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} \int_1^2 r^2 \, dr \, d\theta$

まず、$r$ について積分します。

$\int_1^2 r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

次に、$\theta$ について積分します。

$\int_0^{\pi/2} \frac{7}{3} \, d\theta = \frac{7}{3} \left[ \theta \right]_0^{\pi/2} = \frac{7}{3} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{7\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\pi}{6}$