与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\log(n+a) - \log n}{e^{\frac{a}{n}} - 1} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n+a) - \log n}{e^{\frac{a}{n}} - 1}$$

2. 解き方の手順

まず、分子の対数の差を対数の商に変換します。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\log(\frac{n+a}{n})}{e^{\frac{a}{n}} - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log(1 + \frac{a}{n})}{e^{\frac{a}{n}} - 1}$$

ここで、$x = \frac{a}{n}$ と置くと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ となります。したがって、極限は次のようになります。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x - 1}$$

ここで、ロピタルの定理を適用します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{e^x} = \frac{\frac{1}{1+0}}{e^0} = \frac{1}{1} = 1$$

あるいは、$x$ が十分に小さいとき、$\log(1+x) \approx x$ および $e^x - 1 \approx x$ と近似できます。したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x - 1} \approx \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x - 1} = 1$$

$x = \frac{a}{n}$ を代入すると、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\log(1+\frac{a}{n})}{e^{\frac{a}{n}} - 1} = 1$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n+a) - \log n}{e^{\frac{a}{n}} - 1} = 1$$

3. 最終的な答え

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