分母が810で、分子が1から809までの整数である分数の集合があります。この集合の中で、約分できない分数の個数を求めます。つまり、分子と810が互いに素であるものの個数を求めます。

## 問題50

1. 問題の内容

分母が810で、分子が1から809までの整数である分数の集合があります。この集合の中で、約分できない分数の個数を求めます。つまり、分子と810が互いに素であるものの個数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、810を素因数分解します。

$810 = 2 \times 3^4 \times 5$

次に、オイラーのファイ関数 $\phi(n)$ を用いて、810と互いに素な数の個数を計算します。

オイラーのファイ関数とは、1からnまでの自然数の中でnと互いに素な数の個数を表す関数です。

$\phi(n) = n \times (1 - \frac{1}{p_1}) \times (1 - \frac{1}{p_2}) \times ... \times (1 - \frac{1}{p_k})$

ここで、$p_1, p_2, ..., p_k$ はnの相異なる素因数です。

この問題の場合、$n = 810$ であり、$p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5$ です。

したがって、

$\phi(810) = 810 \times (1 - \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{5})$

$\phi(810) = 810 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$

$\phi(810) = 810 \times \frac{8}{30}$

$\phi(810) = 810 \times \frac{4}{15}$

$\phi(810) = 54 \times 4$

$\phi(810) = 216$

3. 最終的な答え

約分できない分数の個数は216個です。

## 問題51

1. 問題の内容

540の正の約数の個数と、それらの約数の和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、540を素因数分解します。

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5^1$

約数の個数は、各素因数の指数に1を足したものを掛け合わせることで求められます。

約数の個数 = $(2+1) \times (3+1) \times (1+1) = 3 \times 4 \times 2 = 24$

次に、約数の和を求めます。

約数の和 = $(1 + 2 + 2^2) \times (1 + 3 + 3^2 + 3^3) \times (1 + 5)$

= $(1 + 2 + 4) \times (1 + 3 + 9 + 27) \times (6)$

= $7 \times 40 \times 6$

= $7 \times 240$

= $1680$

3. 最終的な答え

540の正の約数の個数は24個で、それらの約数の和は1680です。