関数 $y = \sqrt[3]{x} + x$ の凹凸を調べ、変曲点を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt[3]{x} + x$ の凹凸を調べ、変曲点を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $y = \sqrt[3]{x} + x = x^{1/3} + x$ の第1次導関数 $y'$ を求める。

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y' = \frac{1}{3}x^{-2/3} + 1 = \frac{1}{3x^{2/3}} + 1

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(2) 次に、第2次導関数 $y''$ を求める。

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y'' = \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)x^{-5/3} = -\frac{2}{9x^{5/3}}

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(3) 変曲点を求めるために、$y''=0$ となる $x$ を探す。しかし、$y''$ は $0$ になることはない。

(4) $y''$ の符号が変化する $x$ を調べる。$y''$ は $x=0$ で定義されない。

$x > 0$ のとき、$y'' < 0$ である。

$x < 0$ のとき、$y'' > 0$ である。

したがって、$x=0$ において、$y''$ の符号が変化する。

(5) $x=0$ における $y$ の値を計算する。

$y(0) = \sqrt[3]{0} + 0 = 0$

したがって、$(0, 0)$ は変曲点の候補である。

(6) $x < 0$ のとき、$y'' > 0$ より、グラフは下に凸である。

$x > 0$ のとき、$y'' < 0$ より、グラフは上に凸である。

よって、$x=0$ の前後で凹凸が変化しているので、$(0, 0)$ は変曲点である。

3. 最終的な答え

変曲点：$(0, 0)$

$x<0$で下に凸

$x>0$で上に凸