与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \pm \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to \pm \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx}

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2. 解き方の手順

この極限は $1^\infty$ の不定形なので、自然対数を使って計算します。

まず、$y = \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx}$ とおきます。

両辺の自然対数を取ると、

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\ln y = \ln \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx} = mx \ln \left(1 + \frac{k}{x}\right)

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次に、$\lim_{x \to \pm \infty} \ln y$ を計算します。

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\lim_{x \to \pm \infty} mx \ln \left(1 + \frac{k}{x}\right) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\ln \left(1 + \frac{k}{x}\right)}{\frac{1}{mx}}

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これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

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\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{k}{x}} \cdot \left(-\frac{k}{x^2}\right)}{-\frac{1}{mx^2}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{-k}{x^2 + kx}}{-\frac{1}{mx^2}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{mkx^2}{x^2 + kx}

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= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{mk}{1 + \frac{k}{x}} = mk

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したがって、$\lim_{x \to \pm \infty} \ln y = mk$ となります。

ここで、$y = e^{\ln y}$ であるから、

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\lim_{x \to \pm \infty} y = e^{\lim_{x \to \pm \infty} \ln y} = e^{mk}

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3. 最終的な答え

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e^{mk}

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