$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos 2x - 2\sqrt{3} \sin x + 1$ の最大値と最小値を求め、また、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos 2x - 2\sqrt{3} \sin x + 1$ の最大値と最小値を求め、また、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2x$ を $\sin x$ で表します。

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ なので、

$y = 1 - 2\sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x + 1 = -2\sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x + 2$

次に、$\sin x = t$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、

$y = -2t^2 - 2\sqrt{3}t + 2$

この2次関数を平方完成します。

$y = -2(t^2 + \sqrt{3}t) + 2 = -2(t^2 + \sqrt{3}t + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}) + 2 = -2(t + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{3}{2} + 2 = -2(t + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{7}{2}$

$y = -2(t + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{7}{2}$

この関数のグラフは、上に凸の放物線であり、$t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき最大値 $\frac{7}{2}$ をとる。

また、$t$ の範囲 $-1 \le t \le 1$ で、$t = 1$ のとき最小値をとる。

$t = 1$ のとき、$y = -2(1)^2 - 2\sqrt{3}(1) + 2 = -2\sqrt{3}$

したがって、

$t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき $y = \frac{7}{2}$ (最大値)

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$t = 1$ のとき $y = -2\sqrt{3}$ (最小値)

$\sin x = 1$ より、$x = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{7}{2}$ ($x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)

最小値: $-2\sqrt{3}$ ($x = \frac{\pi}{2}$ のとき)