$\int_0^x (x-t)f(t)dt = \sin x - ax$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\int_0^x (x-t)f(t)dt = \sin x - ax$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx}\int_0^x (x-t)f(t)dt = \frac{d}{dx}(\sin x - ax)$

左辺は、

$\frac{d}{dx}\int_0^x (x-t)f(t)dt = \frac{d}{dx} \left( x\int_0^x f(t)dt - \int_0^x tf(t)dt \right) = \int_0^x f(t)dt + xf(x) - xf(x) = \int_0^x f(t)dt$

右辺は、

$\frac{d}{dx}(\sin x - ax) = \cos x - a$

したがって、

$\int_0^x f(t)dt = \cos x - a$

これをもう一度 $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx}\int_0^x f(t)dt = \frac{d}{dx}(\cos x - a)$

$f(x) = -\sin x$

求めた $f(x) = -\sin x$ を元の式に代入します。

$\int_0^x (x-t)(-\sin t)dt = \sin x - ax$

$-\int_0^x (x-t)\sin t dt = \sin x - ax$

$-x\int_0^x \sin t dt + \int_0^x t\sin t dt = \sin x - ax$

$-x[-\cos t]_0^x + [ -t\cos t + \sin t ]_0^x = \sin x - ax$

$-x(-\cos x + 1) + (-x\cos x + \sin x) = \sin x - ax$

$x\cos x - x -x\cos x + \sin x = \sin x - ax$

$-x + \sin x = \sin x - ax$

$-x = -ax$

$a = 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = -\sin x$

$a = 1$