与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \left( \frac{1^3}{n^3} + \frac{2^3}{n^3} + \frac{3^3}{n^3} + \dots + \frac{n^3}{n^3} \right)$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \left( \frac{1^3}{n^3} + \frac{2^3}{n^3} + \frac{3^3}{n^3} + \dots + \frac{n^3}{n^3} \right)$$

2. 解き方の手順

この極限は区分求積法を用いて定積分に変換することで計算できます。

まず、与えられた式をシグマ記号を用いて書き換えます。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{n^3} = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \left(\frac{k}{n}\right)^3$$

ここで、$x_k = \frac{k}{n}$ とおくと、$x_k$ は $0$ から $1$ までの区間を $n$ 等分したときの $k$ 番目の点に対応します。したがって、この極限は積分で表現できます。

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \left(\frac{k}{n}\right)^3 = \int_{0}^{1} x^3 dx$$

次に、この定積分を計算します。

$$\int_{0}^{1} x^3 dx = \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_0^1 = \frac{1}{4} (1^4 - 0^4) = \frac{1}{4}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{4}$$